Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.

Пусть эта линия разбивает частичную область на части и .

Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме частичной области отвечало слагаемое а в новой сумме этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых

где и суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях и . Так как эти частичные области являются частями области , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим: Отсюда и следует, что Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.

20. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области .

Доказательство. Разобьем область произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и .

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу и .

Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Это интересно:

Применение форм внеклассной работы в средних и старших классах
В средних классах могут быть использованы как одна, так и несколько форм внеклассной работы по математике: математические конкурсы, викторины; математические кружки; математические утренники; математические экскурсии; математические сочинения и математическая печать; командные соревнования; олимпиа ...

Анализ основного учебника по «Технологии» для 6 класса
Учебник «Технология» для учащихся 6 класса общеобразовательной школы (вариант для девочек) под редакцией В.Д. Симоненко подготовлен в соответствии с программой образовательной области Технология, отвечает федеральному стандарту. В нем раскрываются технологии обработки ткани, продуктов питания, дают ...

Методические основы преподавания практических занятий по теме математического анализа «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных»
В соответствии с учебной программой на изучение практического раздела математического анализа «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных» отводится 4 часа. В приведенной таблице дано разбиение материала этого раздела на практические занятия. № практиче ...