Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.

Пусть эта линия разбивает частичную область на части и .

Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме частичной области отвечало слагаемое а в новой сумме этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых

где и суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях и . Так как эти частичные области являются частями области , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим: Отсюда и следует, что Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.

20. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области .

Доказательство. Разобьем область произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и .

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу и .

Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Это интересно:

Работа по повышению сознательной дисциплины
Для успешного профессионального самоутверждения будущим медицинским работникам необходимы глубокие академические знания, умения и навыки, общительность, способность к саморазвитию и самовыражению, уравновешенность, объективность и, естественно, дисциплина и сознательность. При работе над повышением ...

Наблюдение и анализ занятий с дошкольниками
В течение первой недели практики проанализировала содержание и методику проведения занятий. Анализ занятий проводила в соответствии с критериями оценки, по следующему плану. План анализа занятия №2 Задачи занятия, их взаимосвязь. Готовность воспитателя к занятию. Структура, тип занятия, логичность ...

Нарушения звукопроизношения при фонетико-фонематическом недоразвитии
Фонетико-фонематическое недоразвитие – нарушение процессов формирование произносительной системы языка у детей с различными речевыми расстройствами вследствие дефектов восприятия и произношения фонем. Фонематический слух является одним из наиболее рано формирующихся сенсорных процессов. Как свидете ...