Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Задача об объеме цилиндрического тела

Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции приводит к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приводит к новому понятию – двойного (определенного) интеграла.

Рассмотрим тело , которое сверху ограничено поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , наконец, снизу – плоской фигурой на плоскости (рис. 14). Требуется найти объем тела [1].

Для решения этой задачи прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область сетью кривых на части и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке: . Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной аппликате , то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным

,

где означает площадь плоской фигуры [1]. В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю l (наибольшего из диаметров всех областей ) это равенство делается точным, так что

,

и задача решена.

Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции по области ; он обозначается символом

,

так что формула для объема принимает вид

.

Это интересно:

Физическая подготовленность и педагогический контроль
Информированность учителя и ученика о физической подготовленности на любом отрезке процесса обучения необходима для управления этим процессом. Ученик призван быть сознательным участником этого процесса. Участие его, помимо выполнения указаний и требований учителя на уроке, состоит еще и в том, что ...

Требования к обязательному уровню усвоения содержания обучения
Тема: «Начальные геометрические сведения» Ученик должен знать: понятия отрезка, луча, угла; определение биссектрисы угла; определение и свойство смежных углов; определение и свойство вертикальных углов; определение перпендикулярных прямых. Ученик должен уметь: находить среди углов, обозначенных на ...

Экологические проблемы производства полимеров и утилизации пластмассовых отходов
Производство полиэтилена, полипропилена, поливинилхлорида приносит немалые экологические проблемы для окружающей природной среды. Это использование различных токсичных мономеров и катализаторов, образование сточных вод и газовых выбросов, обезвреживание которых сопряжено с большими энергетическими, ...