Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Задача об объеме цилиндрического тела

Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции приводит к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приводит к новому понятию – двойного (определенного) интеграла.

Рассмотрим тело , которое сверху ограничено поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , наконец, снизу – плоской фигурой на плоскости (рис. 14). Требуется найти объем тела [1].

Для решения этой задачи прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область сетью кривых на части и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке: . Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной аппликате , то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным

,

где означает площадь плоской фигуры [1]. В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю l (наибольшего из диаметров всех областей ) это равенство делается точным, так что

,

и задача решена.

Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции по области ; он обозначается символом

,

так что формула для объема принимает вид

.

Это интересно:

Работа с педагогами
Работу по развитию творческих способностей детей в театрализованной деятельности проводим в тесном контакте со вторым воспитателем, помощником воспитателя, логопедом, музыкальным работником, специалистом по ИЗО и родителями. В подготовке театрализованных представлений участвует весь коллектив детск ...

Выявление уровня знаний учащихся начальных классов по русскому языку
В течение первой учебной четверти 2005-2006 учебного года главным методом исследования был эксперимент, который проводился во время занятий по русскому языку. Он состоял из следующих этапов: 1. Подготовительного (констатирующего этапа.) 2. Основного (обучающего или формирующего этапа.) 3. Заключите ...

Изучение особенностей фонематического восприятия у старших дошкольников с задержкой психического развития
Исследование восприятия устной речи: 1.Исследование состояния звукопроизношения. Осуществлялось общепринятыми в логопедической практике методами. Оценка состояния звукопроизношения: -Правильное произношение всех звуков - 4 балла -Нарушение произношения 1 группы звуков - 3 балла -Нарушение произноше ...