Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Задача об объеме цилиндрического тела

Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции приводит к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приводит к новому понятию – двойного (определенного) интеграла.

Рассмотрим тело , которое сверху ограничено поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , наконец, снизу – плоской фигурой на плоскости (рис. 14). Требуется найти объем тела [1].

Для решения этой задачи прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область сетью кривых на части и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке: . Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной аппликате , то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным

,

где означает площадь плоской фигуры [1]. В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю l (наибольшего из диаметров всех областей ) это равенство делается точным, так что

,

и задача решена.

Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции по области ; он обозначается символом

,

так что формула для объема принимает вид

.

Это интересно:

Индивидуальная система обучения
Организационные формы и системы обучения историчны: рождаются, развиваются, заменяются одна другой в зависимости от уровня развития общества, производства, науки и образовательной теории и практики. Их возникновение связывают с древним миром. Так, в Древней Греции, в Афинах, дети учились у граммати ...

Характеристика письма как одна из форм письменного общения
Письмо — продуктивная аналитико-синтетическая деятельность, связанная с порождением и фиксацией письменного текста. Письмо – это сложное речевое умение, дополнительное к звуковой речи средство общения при помощи системы графических знаков, позволяющих фиксировать речь для передачи ее на расстояние, ...

Некоторые методические аспекты экологизации школьного образования
В условиях перехода общества к устойчивому развитию все более осознается "экологическая недостаточность" среднего образования. Учебные материалы не адекватны приоритетным целям обучения. Отсутствуют условия для разнообразной самостоятельной деятельности школьников; учение ориентировано пр ...