Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Задача об объеме цилиндрического тела

Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции приводит к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приводит к новому понятию – двойного (определенного) интеграла.

Рассмотрим тело , которое сверху ограничено поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , наконец, снизу – плоской фигурой на плоскости (рис. 14). Требуется найти объем тела [1].

Для решения этой задачи прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область сетью кривых на части и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке: . Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной аппликате , то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным

,

где означает площадь плоской фигуры [1]. В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю l (наибольшего из диаметров всех областей ) это равенство делается точным, так что

,

и задача решена.

Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции по области ; он обозначается символом

,

так что формула для объема принимает вид

.

Это интересно:

Контроль и методическая помощь воспитателям
Одной из форм методической работы является посещение групп, ознакомление с работой воспитателя в области развития речи. Каждое посещение должно иметь определенную цель. Например, получив от педагога сведения о состоянии звуковой культуры речи его воспитанников, заведующая решает проверить эти данны ...

Анализ и описание достигнутых результатов
Для закрепления грамматического материала данные схемы очень помогали учащимся, а необычные символы способствовали лучшему его усвоению. Так, по началу учащиеся пользовались схемами-опорами и символами для выполнения упражнений, а после 2 уроков необходимость в этом отпала. Это было выяснено путем ...

Личная жизнь
Личную жизнь молодой Кшесинской во многом определяли ее отношения с мужчинами. Еще на выпускном экзамене в училище в ее жизнь вошел человек, которого Матильда любила долгие годы. Это был тогда еще совсем юный наследник Цесаревич Николай Александрович. Это был серьезный роман в жизни цесаревича. Про ...