Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
Задача об объеме цилиндрического тела
Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции приводит к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приводит к новому понятию – двойного (определенного) интеграла.
Рассмотрим тело , которое сверху ограничено поверхностью
, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси
, наконец, снизу – плоской фигурой
на плоскости
(рис. 14). Требуется найти объем
тела [1].
Для решения этой задачи прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область сетью кривых на части
и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.
Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке:
. Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной аппликате
, то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным
,
где означает площадь плоской фигуры
[1]. В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет
Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю l (наибольшего из диаметров всех областей
) это равенство делается точным, так что
,
и задача решена.
Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции по области
; он обозначается символом
,
так что формула для объема принимает вид
.
Это интересно:
Стили воспитания и ошибки, влияющие на формирование подросткового
эгоцентризма
Семья – это чаще всего скрытый от внешнего наблюдения мир сложных взаимоотношений, традиций и правил, которые в той или иной степени сказываются на особенностях личности ее членов, и в первую очередь детей. Тем не менее, существует ряд объективных социальных факторов, которые, так или иначе, сказыв ...
Возрастные особенности развития младших школьников
Младший школьный возраст - первая крупная перемена в жизни ребенка, решительные изменения в его деятельности, общении, отношениях с другими людьми. Ведущей деятельностью становится учение. Изменяется уклад жизни, появляются новые обязанности, новыми становятся отношения с окружающими. Быстро развив ...
Краткие сведения о развитии речи ребенка
Речь является средством общения людей и формой человеческого мышления. Различают внешнюю и внутреннюю речь. Для общения друг с другом люди пользуются внешней речью. Разновидностями внешней речи являются устная и письменная речь. Из внешней речи развивается внутренняя (речь-«думание»), которая позво ...