Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , – координаты точки .

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15).

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).

В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения.

Это интересно:

Принцип приоритета личностного развития
Процесс личностного развития ребенка рассматривается как ведущее звено образовательного процесса. Обучение выступает лишь как средство развития личности, а не как самостоятельная цель (в традиционной системе обучения и воспитания приоритет, хотим мы этого или не хотим, отдается процессу приобретени ...

Характеристика и своеобразие мотивационно– познавательного развития в дошкольном возрасте
Стремление к познанию, к овладению навыками и умениями у детей раннего и дошкольного возраста почти неисчерпаемо. Детские «почему» и «что такое» были предметом многократных исследований, в результате которых всегда приходилось констатировать огромную силу и напряженность познавательной активности р ...

Способы и методы разрешения педагогических конфликтов
Способы разрешения конфликта, особенно если он не зашел далеко, известны и доступны каждому - это нежность, юмор и шутка. В более сложных ситуациях учителя прибегают к компромиссу, делая уступки, друг другу, или сами проводят анализ, стремясь разобраться в себе и своих поступках, и только в исключи ...