Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , – координаты точки .

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15).

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).

В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения.

Это интересно:

Методика организации государственной аттестации учащихся 11-х классов
В соответствии с действующим базисным учебным планом общеобразовательных учреждений Российской Федерации, утвержденным приказом Минобразования России от 9 февраля 1998 г. № 322, преподавание физической культуры в X–XI классах является обязательным, т.е. этот учебный предмет на третьей ступени общео ...

Изучение психологического климата в группе
Цель: Изучить состояние психологического климата в группе детей. Социометрия. Анализ результатов Количество положительных выборов, полученных каждым: 4 детей – 3 выбора, 3 детей – 2 выбора, 2 детей – 1 выбор. 2. Количество изолированных детей, т. е. детей: 1 ребенок. 3. Количество отверженных детей ...

История возникновения и развития искусства вязания
Вязание на спицах – одна из областей традиционного народного искусства, которая исторически приобрела промысловое значение и развивается в наши дни. Это несложный и очень увлекательный вид рукоделия. «До нас дошли экземпляры вещей, связанных в IV-V веках нашей эры. В одной из гробниц Древнего Египт ...