Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , – координаты точки .

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15).

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).

В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения.

Это интересно:

Описание констатирующего среза
Задание 1 (3 А класс) Ф.И. ученика 1 слово 2 слово 3 слово 4 слово 5 слово 6 слово 1. Арефьев М. + + + + + + 2. Анохина М. - + - + - + 3. Бубнов Ж. + + + + + - 4. Голубцова А. + + + + + + 5. Гаврилова С. + + - + + + 6. Гущин А. + + + + + + 7. Дергач Р. + + + + + + 8. Долгунова К. + + + - + + 9. Евт ...

Характеристика процесса социализации у ребенка от 3 до 7 лет
В общем понимании социализация есть процесс присвоения, приобретения социального, т.е. процесс, результатом которого является включение социального в структуру личности. В понятие "социализация" заложено определенное измерение - личность и социальная среда (коллектив, общество, другие люд ...

Модели нетрадиционных уроков
Урок был, есть и в образном будущем останется главной формой организации обучения и воспитания учащихся. Все попытки найти эквивалент уроку, заменить его другими формами организации учебных занятий ни в России, ни за рубежом успеха не имели. Однако, это не значит, что урок – нечто застывшее и неруш ...