Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , – координаты точки .

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15).

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).

В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения.

Это интересно:

Жанровые особенности пословиц и поговорок
Устное народное творчество своей историей уходит в глубокую древность. Это связано с потребностью людей осознать окружающий их мир природы и свое место в нем. К малым жанрам устного народного творчества относятся частушки, поговорки, пословицы, дразнилки, небылицы, загадки и прочее. Для устного нар ...

Современные компьютерные технологии в процессе обучения
Внедрение компьютерных технологий в образование можно охарактеризовать как логичный и необходимый шаг в развитии современного информационного мира в целом. Подтверждением этого может служить возникновение целого ряда специальных научных центров, непосредственно занимающихся проблемами информатизаци ...

Эстетическое образование Вальдорфской школы
Родителям и учителям необходимо развивать творческую проницательность при работе с детьми. Индивидуальность скрыта, ее нельзя увидеть при рождении. Например, никто не предполагает, что мать Бетховена знала, что ее сын напишет девять полноценных симфоний, не говоря уже о его последних квартетах. Под ...