Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Классификация занимательного материала по русскому языку
Таким образом, проанализировав литературу, мы составили классификацию занимательного материала и пришли к выводу о том, что он достаточно разнообразен. Его использование на уроках русского языка очень важно. При этом можно применять с каждым разом все новые и новые задания тем самым обогащать речь ...

Феноменология экологической культуры в современной научной литературе
В философии культура определяется как специфический способ организации и развития человеческой жизнедеятельности, представленный в продуктах материального и духовного труда, в системе социальных норм и учреждений, в духовных ценностях, в совокупности отношений людей и природы, между собой и к самим ...

Проблемы реализации религиозной, национальной, культурной идентичности учащихся
Целостная социализация предполагает освоение учащимися национального и мирового культурного наследия. Основанием любой культуры являются религиозные ценности, понятия, миропонимание, то есть религиозная культура, без которой не возможна адекватная социализация. Одним из наиболее важных аргументов п ...