Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Лекционно-семинарская система обучения в школе
Использование лекционно-семинарской система обучения в школе имеет ряд существенных преимуществ: осознанность школьниками процесса учения; возможность активного включения в него; планирования ими своей деятельности; возможность строить учебный процесс на разных уровнях сложности; возможность широко ...

Закономерности развития речи детей младшего школьного возраста
В этом разделе мы более подробно изучим закономерности развития речи детей младшего школьного возраста. Речевая деятельность человека осуществляется в соответствии с нормами, свойственными тому или иному языку на определенном этапе его развития. Приведем основные закономерности развития детской реч ...

Компьютер как инструмент педагогического исследования
Сегодня информационные технологии находят довольно широкое применение в педагогике как науке, а также непосредственно в практике учебно-воспитательного процесса. Наибольшее распространение они получили в таких видах деятельности как дистанционное обучение, учреждение онлайновых учебных заведений (в ...