Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Методика проведения теоретического урока по теме: “Издержки производства и себестоимость продукции сельского хозяйства “
Важным звеном в системе планирования деятельности преподавателя является календарно-теметический план, который способствует организации учебного процесса и обеспечивает выполнение учебных программ по предмету в строгой логической последовательности и с учетом межпредметных связей. Для разработки ме ...

Организация компьютерного тестирования как основной формы контроля сформированности грамматических навыков
Что касается XXI века наблюдается повышенный интерес к проблеме компьютерного тестирования как основной формы объективного контроля знаний, умений и навыков обучаемых и одного из способов повышения качества образования. Повышение информативности теста – путь наиболее эффективный и реализуется за сч ...

Альтернативные школы
Количество альтернативных школ в Швеции сравнительно невелико. Их возникновение связано с общими для учителей и родителей идеями организации учебного процесса. Нередко в основе обучения в альтернативной школе лежит определенная педагогическая теория, например, педагогическое учение Монтессори и Вал ...