Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Реализация духовного воспитания подростков в учебно-воспитательном процессе
Пятый класс. Стержнем музыкальных занятий в пятом классе является рассмотрение разнообразных связей музыки с другими видами искусства и жизнью. Эти связи уже, безусловно, присутствовали на уроках музыки в предыдущие годы. Ребятами накоплен значительный опыт речевого и пластического ин­тонирования, ...

Библиографическое описание
Любой форме записи должно предшествовать библиографическое описание литературного источника, т.е. своеобразная справка, характеризующая публикацию по ее внешним признакам: авторству, названию, издательским данным. Библиографическое описание чрезвычайно распространено. Оно применяется на каталожных ...

Категории и функции многодетной семьи
Существуют различные объяснения высокой рождаемости в семьях и связанной с ней многодетности. Одно из них состоит в том, что одна из причин многодетности – национальные традиции и обычаи, влияющие на формирование норм о числе детей в семье. Другое объяснение заключается в отсутствии свободы выбора ...