Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Роль старшего педагога и заведующей в руководстве работой по развитию речи
Ведущая роль в руководстве работой детского сада принадлежит заведующей. Заведующая непосредственно руководит учебно-воспитательной работой, выступает как методист, воспитатель воспитателей. Поэтому очень важна ее высокая теоретическая и практическая подготовка. Если в детском саду есть лицо, отвеч ...

Методы и приемы по развитию грамматического строя речи детей
Преодоление ОНР у детей осуществляется в специальном детском саду для детей с речевыми нарушениями путем использования поэтапной системы формирования речи. В основу коррекционной системы обучения и воспитания детей с ОНР 4-6 лет положены следующие принципы. раннего воздействия на речевую деятельнос ...

Необходимость обобщающего повторения
Одним из основных дидактических принципов обучения является принцип систематичности и последовательности. Учебник, по которому ведется преподавание, предлагает учителю определенную систему учебного материала. Но преподавание по определенной системе вовсе не гарантирует ее усвоения. Наблюдение за де ...