Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Профессиональная подготовка по индивидуальным планам
Тематический план № П/П тема Количество часов теория практ. всего 1 Музыкально-теоретические дисциплины Эстрадная музыка XX - XXI века 8 - 8 Вокально-инструментальный ансамбль как базовое современное направление в искусстве 12 - 12 Вопросы музыкальной формы 6 6 12 2 Профессиональная подготовка Исто ...

Цели и задачи социально-психологической поддержки учащихся
В последние годы опубликован ряд научных работ, авторы которых рассматривают теоретические и практические аспекты функционирования образовательных учреждений и особенности деятельности психологических служб в этих школах: Битянова М.Р., Качимская А.Ю. Целью работы психологов становится не просто об ...

Роль сюжетно-дидактических игр в формировании количественных представлений у детей дошкольного возраста
Счёт и измерение – действия взаимозависимые, они должны выполняться не приблизительно, а точно, правильно и в определённой последовательности. Поэтому в игре, где используются счёт или измерение, воспитатель должен брать на себя такую роль, которая позволила бы ему контролировать правильность выпол ...