Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Анализ взаимоотношений в семьях воспитывающих нормально-видящих детей и детей с нарушением зрения
Для изучения родительского отношения нами был использован тест-опросник родительского отношения А.Я. Варга, В.В. Столина, содержащий 5 шкал. Авторами предложена шкала процентильного ранга, что позволяет проводить сравнительный анализ с результатами других тестов. Процентильный ранг указывает на то, ...

Использование информационно-комуникативных технологий в учебно-воспитательном процессе в ДОУ
В настоящее время тема «Использование информационно-коммуникативных технологий в учебно-воспитательном процессе ДОУ» актуальна и на данный момент недостаточна изучена. С развитием современной информационной технологии, система «ребенок и компьютер» быстро превращается в проблему, которая касается в ...

Воспитание как человеческий способ бытия
Еще со времен И. Канта воспитание рассматривается как синкретический процесс, в который включен человек любого возраста и уровня развития. Для педагогической антропологии традиционно отношение к воспитанию и как к прирожденному долгу человека, и как к специфически человеческому способу бытия, и как ...