Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Повышение результативности вводной части урока
Как известно, начало каждого урока физической культуры характеризуется пониженной работоспособностью учащихся, а ритмика их двигательной деятельности в это время (после предшествующего урока по другому предмету, ходьбы или поездки в школу и др.) не совпадает с ритмикой учебно-тренировочного процесс ...

Опытно-экспериментальное исследование социально-педагогической помощи многодетным семьям
Социальная защита населения и механизм ее реализации базируется на конституционно-правовых нормах и международных пактах о правах и свободах человека. Всеобщая Декларация прав человека провозглашает и признает права всех людей на жизнь, свободу и личную неприкосновенность, достоинство, свободу убеж ...

Особенности старшего школьного возраста и выбор профессии
Подготовка учащихся к осознанному выбору профессии - важная социально-педагогическая задача школы. В Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г. говорится о необходимости улучшения профессиональной ориентации школьника. Переход на предпрофильное и профильное обучение актуали ...