Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
Доказательство. Если бы была не ограничена в области
, то при любом разбиении области
на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.
Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части
можно сделать значение функции
, а с ним и интегральную сумму
по абсолютной величине сколь угодно большой.
В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция
не будет интегрируема.
Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.
2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.
3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в
, т.е.
.
Суммы Дарбу
Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу
где через ,
обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции
в i-й области
.
Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм
[5].
Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек
будем иметь двойное неравенство:
, которое сразу вытекает из очевидных неравенств
, если члены обоих этих неравенств умножить на
и просуммировать по i .
Свойства сумм Дарбу
10. При дальнейшем дроблении частей области
с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает.
Это интересно:
Проведение уроков-экскурсий по математике для развития познавательного
интереса младших школьников на формирующем этапе
Цель формирующего этапа эксперимента – повысить уровень интереса к математике через проведение уроков-экскурсий для развития познавательного интереса младших школьников. На формирующем этапе эксперимента участвовали учащиеся 4 класса. На первых этапах изучения математики в начальной школе особенно ...
Компетентностная педагогика
Компетенция в переводе с латинского competentia означает круг вопросов, в которых человек хорошо осведомлен, обладает познаниями и опытом. Компетентный в определенной области человек обладает соответствующими знаниями и способностями, позволяющими ему обоснованно судить об этой области и эффективно ...
Сущность процесса обучения
Процессы учения и обучения (преподавания) представляют собой две особые, хотя и взаимосвязанные формы деятельности учащегося и учителя и отражают двойственный характер процесса обучения. Научная теория процесса обучения включает в себя разработку таких приемов и способов организации познавательной ...