Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
Доказательство. Если бы была не ограничена в области
, то при любом разбиении области
на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.
Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части
можно сделать значение функции
, а с ним и интегральную сумму
по абсолютной величине сколь угодно большой.
В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция
не будет интегрируема.
Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.
2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.
3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в
, т.е.
.
Суммы Дарбу
Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу
где через ,
обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции
в i-й области
.
Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм
[5].
Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек
будем иметь двойное неравенство:
, которое сразу вытекает из очевидных неравенств
, если члены обоих этих неравенств умножить на
и просуммировать по i .
Свойства сумм Дарбу
10. При дальнейшем дроблении частей области
с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает.
Это интересно:
Планово-прогностическая функция методической службы
Планово-прогностическая функция является основой деятельности методической службы. Она направлена на выбор как идеальных, так и реальных целей и разработку программ их достижения. Качество методической деятельности зависит от точности ее планирования и прогнозирования. Назовем следующие объекты про ...
Особенности внеклассной работы по математике
Обучение математике с одной стороны традиционно изучено и проверено. Но существование методики развития интереса к математике встает перед любым учителем. Проблема интереса в обучении не нова. Значение его утверждали многие дидакты прошлого. В самых разнообразных трактовках проблемы в классической ...
Применение методик лабораторно–практических занятий
Образование это процесс овладения системой знаний, умений, и навыков, в течение которого складываются черты творческой деятельности, мировоззренческие и поведенческие качества личности, развиваются ее познавательные способности. Цель обучения мы видим в том, чтобы эти систематизированные знания (пр ...