Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
Доказательство. Если бы была не ограничена в области
, то при любом разбиении области
на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.
Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части
можно сделать значение функции
, а с ним и интегральную сумму
по абсолютной величине сколь угодно большой.
В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция
не будет интегрируема.
Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.
2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.
3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в
, т.е.
.
Суммы Дарбу
Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу
где через ,
обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции
в i-й области
.
Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм
[5].
Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек
будем иметь двойное неравенство:
, которое сразу вытекает из очевидных неравенств
, если члены обоих этих неравенств умножить на
и просуммировать по i .
Свойства сумм Дарбу
10. При дальнейшем дроблении частей области
с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает.
Это интересно:
Преподавание ОБЖ В МОУ СОШ №10 ст. Придорожной Каневского района и его роль
в подготовке школьников к современным условиям жизнедеятельности
В МОУ СОШ №!0 предмет «Основы безопасности жизнедеятельности» преподаётся с момента его введения в школьную программу. В настоящее время обучение данному предмету ведётся двумя преподавателями – автором предлагаемой квалификационной работы, директором СОШ №10 и Шмигельским Виталием Владимировичем – ...
Возможности использования интерактивной доски в начальной школе
Любой урок имеет двух субъектов - учителя и учеников. Доска третьим субъектом стать не может. Не доска учит, а учитель. Наличие интерактивной доски в классе не делает урок развивающим, таким его может сделать учитель, ясно представляющий цель, использующий эффективные методы обучения, а доска – это ...
Опытно-экспериментальная работа по формированию пространственного
мышления у учащихся во втором классе на уроках математики
Цели исследования: выявление уровня сформированности пространственного мышления у детей младшего школьного возраста, поиск наиболее эффективных способов формирования этого вида мышления; составление и апробация программы формирования пространственного мышления у учащихся второго класса. Этапы: 1. К ...