Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Если бы была не ограничена в области , то при любом разбиении области на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.

Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части можно сделать значение функции , а с ним и интегральную сумму по абсолютной величине сколь угодно большой.

В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция не будет интегрируема.

Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.

2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.

3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в , т.е.

.

Суммы Дарбу

Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу

где через , обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции в i-й области .

Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм [5].

Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек будем иметь двойное неравенство:, которое сразу вытекает из очевидных неравенств , если члены обоих этих неравенств умножить на и просуммировать по i .

Свойства сумм Дарбу

10. При дальнейшем дроблении частей области с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает.

Это интересно:

Использование разных видов детской деятельности в развитии памяти детей дошкольного возраста с общим недоразвитием речи
Воспитание и обучение детей осуществляется не только на занятиях, но и в повседневной жизни, во время проведения режимных моментов, во включении детей в различные виды деятельности, на протяжении всего пребывания детей в дошкольном учреждении. Развитие памяти детей в нашем исследовании осуществляло ...

Типы занимательных задач
В настоящее время существует огромное количество видов занимательных задач. Так, Теплова Л.И. выделяет такие типы занимательных задач как аналогия, исключение лишнего, «в худшем случае», классификация, логические задачи, перебор, задачи с геометрическим содержанием, задачи «на переливание», задачи- ...

Рекомендации родителям и учителям по осуществлению контроля и регуляции влияния СМИ на социальное развитие ребенка
СМИ способны не только управлять вкусами младших школьников, но и навязывать им свои "идеалы". Ребёнок, ещё не ориентирующийся в современной эстраде, как правило. Выбирает "модных" на сегодняшний день поп-звёзд, которые не редко становятся его жизненным идеалом, определяют музык ...