Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Если бы была не ограничена в области , то при любом разбиении области на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.

Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части можно сделать значение функции , а с ним и интегральную сумму по абсолютной величине сколь угодно большой.

В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция не будет интегрируема.

Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.

2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.

3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в , т.е.

.

Суммы Дарбу

Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу

где через , обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции в i-й области .

Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм [5].

Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек будем иметь двойное неравенство:, которое сразу вытекает из очевидных неравенств , если члены обоих этих неравенств умножить на и просуммировать по i .

Свойства сумм Дарбу

10. При дальнейшем дроблении частей области с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает.

Это интересно:

Ограничения практики развивающего обучения относительно формирования рефлексии
Теоретическая стройность теории развивающего обучения не помешала возникновению критики её практического приложения. Исследователи детской психологии фиксируют некоторые несовпадения при наложении схем РО на действительность образования и развития детей. Так Г.А.Цукерман отмечает неэффективность РО ...

Система упражнений при обучении письменной речи
Учебный процесс должен активизировать имеющиеся у каждого ученика интеллектуальные способности, знания и речевой опыт, его эмоции и настроения и развивать эти личностные параметры. Поэтому важно строить учебный процесс таким образом, чтобы обучаемый, решая те или иные коммуникативные задачи, испыты ...

Содержание, формы, методы профессиональной ориентации старшеклассников
В процессе профессионального становления будущего квалифицированного рабочего можно выделить три четко выраженных периода: 1. Период поступления в профессиональное учебное заведение (профессиональная ориентация в школе, мотивированный выбор старшеклассниками той или иной профессии, профессиональное ...