Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Выявление динамики уровня развития мыслительных операций у дошкольников подготовительной группы
Для проверки, проделанной нами работы на формирующем этапе эксперимента, был проведен контрольный эксперимент. Цель: проверка эффективности разработанной программы у старших дошкольников. На данном этапе эксперимента использовался тот же диагностируемый материал, что и на констатирующем этапе. Для ...

Контроль и методическая помощь воспитателям
Одной из форм методической работы является посещение групп, ознакомление с работой воспитателя в области развития речи. Каждое посещение должно иметь определенную цель. Например, получив от педагога сведения о состоянии звуковой культуры речи его воспитанников, заведующая решает проверить эти данны ...

Обзор литературы по изучаемой проблеме
В настоящее время нет необходимости доказывать, что развитие речи самым тесным образом связано с развитием сознания, познанием окружающего мира, развитием личности в целом. Центральным звеном, с помощью которого педагог может решать самые разные познавательные и творческие задачи, являются образные ...