Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Методические подходы к реализации нравственно-экономического воспитания детей 6-7 лет в игровой деятельности
Учитывая возрастные особенности дошкольников и разнообразие содержания программ по экономическому воспитанию, а также отсутствие разработок по нравственно-экономическому воспитанию детей, мы рассмотрели разные методические подходы к формированию экономических представлений у детей, которые являются ...

История в датах и цифрах
Историю невозможно изучать без знания дат, а они могут быть представлены с помощью различных средств наглядности. Методисты давно обращали внимание на проблему изучения хронологии и связывали ее с наглядными средствами обучения. Так, И.В.Гиттис писала о том, что хронологические даты — это «вехи», « ...

Характеристика информационной компетенции при изучении общебиологического материала
Главной целью биологического образования является формирование у учащихся целостного представления о живом мире, основанного на приобретенных знаниях, умениях, навыках и способах деятельности. Исходя из этого целями обучения биологии являются следующие: Овладение умениями применять биологические зн ...