Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Роль художественной литературы в нравственном воспитании детей дошкольного возраста
Русский философ считал чтение книг средством воспитания подрастающего поколения. Интеллектуальные возможности людей воспринимать прекрасное и испытывать эстетическое удовольствие от восприятия различной информации из литературных источников зависит от экономических и социальных условий, в которых о ...

Фиксация данных педагогического исследования
На его опытно-экспериментальной стадии осуществляется как правило в форме рабочего дневника исследователя, протоколов наблюдений, фотографий, кино- и видеодокументов, фонограмм (записей бесед, интервью и т.д.). Благодаря развитию мультимедийных технологий компьютер может осуществлять сегодня сбор и ...

Методические рекомендации по оптимизации процесса развития фонематического восприятия у старших дошкольников с ЗПР
Проведенный в работе анализ психолого-педагогической и методической литературы позволил выявить различные подходы признанных мастеров в области логопедии (А.Н. Гвоздев, Л.С. Волкова, П.И. Лалаева, Р.Е. Левина, Д. Б. Эльконин и др.) к проблеме развития фонематического восприятия на логопедических за ...