Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Результативность опыта
С целью оценки эффективности разработанной программы сюжетных занятий на основе ритмической гимнастики в нескольких детских садах был проведен сравнительный педагогический эксперимент, в котором принимали участие дети в возрасте 5-7 лет. Экспериментальная группа занималась по разработанной программ ...

Изучение эмпирических закономерностей
Начинать изучение законов педагогической антропологии приходится с установления фактов. Научный факт серьезно отличается от житейского, бытового, который представляет собой простую фиксацию явления или события. Научный факт является обобщением, поскольку единичное событие не может служить основание ...

Организация педагогической поддержки ребенка в период адаптации в ДОУ
Синенко И.В. определяет, что общая цель поддержки ребенка в адаптационный период – это формирование у него нового, совместно с другими детьми, способа жизнедеятельности и форм удовлетворения своих потребностей под руководством воспитателя. Работа по каждому из разделов дополняется задачами, связанн ...