Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Психолого-педагогическая характеристика дошкольников со стёртой дизартрией
Дизартрия – нарушение произносительной стороны речи, обусловленное недостаточностью иннервации речевого аппарата. Дизартрии относят к тяжёлым речевым расстройствам, при которых страдает не только произношение, но и темп, выразительность, плавность, модуляция, голос и дыхание. Дизартрии связаны с по ...

Принцип светскости государства в образовании
Раскрытие темы исследования и проблема понимания сути, сущностных характеристик светской и религиозной моделей образования, их функционирование в общественной системе отношений приводит к необходимости дать понятия светскости в культурно-историческом и конституционно-правовом контекстах. Характер о ...

Современный метод обучения грамоте в школе глухих
Задачей этого раздела является формирование у глухих учащихся первоначальных умений чтения и письма, то есть, по существу, речь идёт об овладении письменной речью. Так же как и в устной речи, здесь выделяется импрессивная форма – чтение и экспрессивная – письмо. Овладение и той и другой формой речи ...