Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Формирование умения самостоятельно есть и пить
Здесь выделяется два аспекта: во-первых, ребенку нужно научиться справляться с той пищей, которую едят все, и во-вторых, научиться делать это без посторонней помощи. Овладеть этими умениями очень важно, поскольку они помогут ребенку сохранять чувство собственного достоинства, быть независимым и хор ...

Игра как средство нравственного воспитания у детей дошкольного возраста
Для детей от 1 до 7 лет игра – важный фактор познания окружающего мира, освоения ролевых функций, психического развития личности, её социализации и подготовки к будущему. Игра — один из видов человеческой деятельности. Как слож­ное и интересное жизненное явление, она привлекала и привле­кает вниман ...

Контроль уровня знаний с использованием тестовых заданий
Тесты в современном учебном процессе широко внедряются в практику изучения многих предметов, в том числе в преподавание дисциплины «Основы безопасности жизнедеятельности». К основным достоинствам метода тестового контроля знаний следует отнести простоту и демократичность самой процедуры, экспрессно ...