Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
.
Доказательство. Пусть S' и s' верхняя и нижняя суммы Дарбу на области (Р) для функции |f (x, y)|, а S и s – верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции f (x, y).
Составим разность S'-s' для функции |f (x, y)|:
,
так как .
При λ→0 разность S-s стремится к нулю, так как функция f (x, y) интегрируема на (Р) по условию, а, значит, и S'-s' стремится к нулю при λ→0 подавно.
Так как S'-s' стремится к нулю при λ→0, то функция |f (x, y)| интегрируема на (Р).
При λ→0 в очевидном неравенстве переходим к пределу и получаем формулу свойства.
Теорема о среднем значении
Теорема 1. Если функция интегрируема в замкнутой области (P) и выполняется неравенство
, то:
1. Справедливо неравенство , где m, M – наименьшее и наибольшее значения функции в области (P), а P площадь области (P).
2. Существует такая точка с из отрезка , что выполняется:
Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы получается при предельном переходе в двойном неравенстве
2. Пусть некоторая точка с имеет значение .
3. Разделим двойное неравенство пункта 1 на Р. Получим
4. С учетом пункта 2 из того, что следует, что
и
.
Теорема 2. Если функция двух переменных непрерывна на замкнутой области (P), то существует такая точка
, что будет выполняться:
Доказательство. Так как область (P) замкнута, то по теореме Вейерштрасса существуют наибольшее и наименьшее значения функции в области (P).
Пусть М – наибольшее значение функции , m – наименьшее значение функции в области (P).
Из теоремы 1 следует, что
Тогда по теореме Больцано-Коши непрерывная функция проходит через все промежуточные значения.
Это интересно:
Применение полимеров
На конец двадцатого столетия производство синтетических пластмасс в мире достигло 130 млн.т/год. Такие многотоннажные полимеры как полиэтилен и полипропилен химически устойчивы, механически прочны, поэтому их широко применяют при изготовлении оборудования в различных областях промышленности (аппара ...
Особенности использования игр в 1 классе
Для младшего школьного возраста учение – новое и непривычное дело. Поэтому при знакомстве со школьной жизнью игра способствует снятию барьера между “внешним миром знания” и психикой ребёнка. Игровое действие позволяет осваивать то, что заранее вызывает у младшего школьника страх неизвестности, пост ...
Нарушения письменной речи
Классификация нарушений речи В настоящее время не существует единой классификации речевых расстройств. Попытки создания таковой (М.Е. Хватцев, О.В. Правдина, Р.А. Белова-Давид, М. Зееман, Р.Е. Левина и др.), предпринимались на протяжении всей истории развития логопедии, как науки и области практиче ...