Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
.
Доказательство. Пусть S' и s' верхняя и нижняя суммы Дарбу на области (Р) для функции |f (x, y)|, а S и s – верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции f (x, y).
Составим разность S'-s' для функции |f (x, y)|:
,
так как .
При λ→0 разность S-s стремится к нулю, так как функция f (x, y) интегрируема на (Р) по условию, а, значит, и S'-s' стремится к нулю при λ→0 подавно.
Так как S'-s' стремится к нулю при λ→0, то функция |f (x, y)| интегрируема на (Р).
При λ→0 в очевидном неравенстве переходим к пределу и получаем формулу свойства.
Теорема о среднем значении
Теорема 1. Если функция интегрируема в замкнутой области (P) и выполняется неравенство
, то:
1. Справедливо неравенство , где m, M – наименьшее и наибольшее значения функции в области (P), а P площадь области (P).
2. Существует такая точка с из отрезка , что выполняется:
Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы получается при предельном переходе в двойном неравенстве
2. Пусть некоторая точка с имеет значение .
3. Разделим двойное неравенство пункта 1 на Р. Получим
4. С учетом пункта 2 из того, что следует, что
и
.
Теорема 2. Если функция двух переменных непрерывна на замкнутой области (P), то существует такая точка
, что будет выполняться:
Доказательство. Так как область (P) замкнута, то по теореме Вейерштрасса существуют наибольшее и наименьшее значения функции в области (P).
Пусть М – наибольшее значение функции , m – наименьшее значение функции в области (P).
Из теоремы 1 следует, что
Тогда по теореме Больцано-Коши непрерывная функция проходит через все промежуточные значения.
Это интересно:
Программа коррекционно-развивающей работы социального педагога с
подростками осложненного поведения
Актуальность программы. Изменения, происходящие сегодня в нашем обществе, выдвинули целый ряд проблем, одной из которых является проблема осложненного поведения подростков. Причины осложнений в поведении подростков многообразны: проблемы со школьной успеваемостью, конфликтные взаимоотношения со све ...
Требования к традиционному уроку
В основе рациональной организации урока лежат требования, соблюдение которых позволяет учителю повысить коэффициент полезной деятельности учащихся, а, следовательно, и качество их подготовки. В совокупности эти требования ориентируют учителя на оптимальную структуру урока, и позволяют ему упорядочи ...
Теоретическое описание ситуации воспитания
Воспитание как объект педагогических исследований и разработок – фундаментальная категория для педагогической науки. Надежность педагогической науки зависит от того, как мы представляем себе объект ее исследования. Этот объект советская педагогика определяла как «воздействие на психологию воспитуем ...