Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
.
Доказательство. Пусть S' и s' верхняя и нижняя суммы Дарбу на области (Р) для функции |f (x, y)|, а S и s – верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции f (x, y).
Составим разность S'-s' для функции |f (x, y)|:
,
так как .
При λ→0 разность S-s стремится к нулю, так как функция f (x, y) интегрируема на (Р) по условию, а, значит, и S'-s' стремится к нулю при λ→0 подавно.
Так как S'-s' стремится к нулю при λ→0, то функция |f (x, y)| интегрируема на (Р).
При λ→0 в очевидном неравенстве переходим к пределу и получаем формулу свойства.
Теорема о среднем значении
Теорема 1. Если функция интегрируема в замкнутой области (P) и выполняется неравенство
, то:
1. Справедливо неравенство , где m, M – наименьшее и наибольшее значения функции в области (P), а P площадь области (P).
2. Существует такая точка с из отрезка , что выполняется:
Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы получается при предельном переходе в двойном неравенстве
2. Пусть некоторая точка с имеет значение .
3. Разделим двойное неравенство пункта 1 на Р. Получим
4. С учетом пункта 2 из того, что следует, что
и
.
Теорема 2. Если функция двух переменных непрерывна на замкнутой области (P), то существует такая точка
, что будет выполняться:
Доказательство. Так как область (P) замкнута, то по теореме Вейерштрасса существуют наибольшее и наименьшее значения функции в области (P).
Пусть М – наибольшее значение функции , m – наименьшее значение функции в области (P).
Из теоремы 1 следует, что
Тогда по теореме Больцано-Коши непрерывная функция проходит через все промежуточные значения.
Это интересно:
Содержание и структура современного школьного учебника
Учебник был и остается основным средством обучения в школе. За последнее десятилетие в этой области произошли кардинальные изменения. Там, где существовал единый и единственный учебник по истории и обществоведению (по принципу «один предмет – одна параллель – один учебник»), появилось несколько уче ...
Кислотные дожди, их причина и вредное влияние
Одна из важнейших экологических проблем, с которой связывают окисление природной среды, - кислотные дожди. Образуются они при промышленных выбросах в атмосферу диоксида серы и оксидов азота, которые, соединяясь с атмосферной влагой, образуют серную и азотную кислоты В результате дождь и снег оказыв ...
Функции и педагогические возможности игры
Игра – явление сложное и многогранное. Анализируя источники, мы выделили несколько важных ее функций: - социокультурная функция может означать синтез усвоения ребенком богатства культуры, потенций воспитания и формирования его как личности, позволяющей ему выступать в качестве полноправного члена д ...