Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть теперь – одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема.

Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана.

Основные свойства двойного интеграла

10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом

Это интересно:

Роль природы в формировании личности дошкольника. Воспитательно-образовательные задачи ознакомления детей с природой
Экологическое воспитание — это новое направление дошкольной педагогики, которое отличается от традиционного — ознакомления детей с природой. Природа — важнейшее средство воспитания и развития детей дошкольного возраста. Ребенок делает много открытий, общаясь с ней. Неповторимо каждое живое существо ...

Условия формирования экологической культуры в контексте образовательного процесса
Формирование экологической культуры подрастающего поколения осуществляется в различных социокультурных институтах - дошкольных образовательных учреждениях, школах, колледжах, вузах и других. Важную роль в формировании экологической культуры может сыграть учебно-производственный комбинат, который яв ...

Проблемы интегрированного обучения
Необходимость обращения к интегрированному обучению вызвана рядом объективных причин, которые обнаружились в процессе работы в средней школе. Одной из важнейших проблем является заметное снижение интереса учащихся к предметам естественно-математического цикла, что во многом обусловлено объективной ...