Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть теперь – одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема.

Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана.

Основные свойства двойного интеграла

10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом

Это интересно:

Развитие музыкальных способностей у ребенка
Вашему ребенку от 3-х до 4-х лет. Если вы до сих пор не взялись за его музыкальное воспитание, то Вы опоздали на 3 - 4 года. Да, конечно, закладка всех знаний происходит в первые 3 года. Но не стоит отчаиваться. Надо просто наверстывать упущенное. Впрочем, может, все же, Вы не все упустили? Вспомни ...

Об особенностях экологического воспитания детей дошкольного и младшего школьного возраста
Особое внимание к исследованию проблем экологического образования детей дошкольного и младшего школьного возраста можно объяснить двумя основными причинами: необходимостью рассматривать экологическое воспитание как непрерывный и систематический процесс в течение всего периода детства; актуальностью ...

Проблемы высшего образования, связанные с его массовостью
1. Так как качество образования в значительной мере определяется уровнем подготовки абитуриентов, учёные отмечают, что увеличение количества платных студентов (53%) снижает общий уровень знаний первокурсников. 2. Проблема, связанная с возросшим уровнем культурно-образовательных потребностей. Высшая ...