Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть теперь – одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема.

Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана.

Основные свойства двойного интеграла

10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом

Это интересно:

Методика формирования познавательной активности дошкольников
Познавательная деятельность дошкольника подразумевает, с одной стороны – действенный, а с другой – образный способы познания. Важно выяснить, насколько связаны между собой мотивы, направленные на действенное и образное познание мира. Какой вид познавательной деятельности является более предпочитаем ...

Методические основы музыкальной стимуляции уроков физкультуры
В последние годы учителя и преподаватели физической культуры все чаще и настойчивее говорят о целесообразности использования на уроках музыки. В небольших пробных опытах энтузиасты музыки с определенным успехом применяли ее и на занятиях по тем видам спорта, которые в обыденном сознании с музыкой п ...

Наблюдение и анализ руководства творческой игрой
При анализе игровой деятельности дошкольников выяснила следующее: Для игр созданы условия, т.е. имеются в наличие необходимые материалы, игрушки для сюжетно-ролевых игр (набор "Больница", "Магазин", "Парикмахерская", "Шофер и т.д.). Место для данных игр специально ...