Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Приемы, методы, технологии обучения в школе VIII вида
При планировании уроков в специальной (коррекционной) общеобразовательной школе VIII вида опираются на разработанную систему принципов коррекционно-развивающего сопровождения: Принцип динамичности восприятия; Принцип продуктивности обработки информации; Принцип развития и коррекции высших психическ ...

Упражнения, направленные на преодоление аграмматической дисграфии
При устранении аграмматической дисграфии широко используются письменные упражнения: Вставить пропущенные флексии, суффиксы, приставки в предложениях. Дрова рубят топор Сахар кладут в сахар . Поезд .ъехал к станции. Закончить предложения, изменяя слово вода. - Девочка загорает у …. - Мальчик выходит ...

Занятие по развитию речи в подготовительной группе по теме "Перелетные птицы"
Программное содержание: 1. Познакомить детей с перелетными птицами, выяснить, почему их так называют, дать понятие – "насекомоядные", "водоплавающие"; изучить новые понятия (летят: стаей, вереницей, поодиночке, клином); закрепить понятия о сложных словах (насекомоядные – едят на ...