Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

История возникновения и развития педагогических законов и закономерностей
Педагогические знания идут из глубины веков, сначала как опыт, затем – как теоретические обобщения, в наши дни – как неопровержимо действующие закономерности и законы. В первобытном обществе человечество постепенно накапливало практические знания по обучению и воспитанию подрастающих поколений. Вид ...

Методические особенности проведения интегрированных уроков
В интегрированном уроке объединяются блоки знаний двух-трех различных предметов, поэтому чрезвычайно важно правильно определить главную цель интегрированного урока. Если общая цель определена, то из содержания предметов берутся только те сведения, старые необходимы для ее реализации. Интеграция спо ...

Способы оценки качества обучения иностранному языку
Традиционная система оценки качества обучения иностранному языку не удовлетворяет на современном этапе развития школы её потребностям, т. к. часто травмирует психику ребёнка и влияет на его индивидуальную траекторию образования и развития. Выход из данной ситуации видится в адаптации системы оценив ...