Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем
Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .
Но , так что из только что полученных неравенств вытекает
, ч. т.д.
Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:
, где
.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных
Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях
, где
есть колебание
функции
в частичной области
.
Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое
, что лишь только все диаметры частичных областей
станут меньше
, тотчас будет выполняться
или
при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек
в частичных областях
. Но суммы s и S при заданном разбиении области
, являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства
так что
откуда и следует, что
Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства
сразу ясно, что
и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство
Это интересно:
Анализ проведенных учебно-воспитательных
мероприятий
Определи, в какой из частей биосферы живет большинство животных и растет большинство растений. Для этого покажи стрелкой, где они живут. После этого посчитай и подведи итог Подпиши названия оболочек Земли, в которых мы чаще всего встречаем изображённых животных. Какую оболочку называют живой? В как ...
Анализ проведения режимных процессов
Наблюдая за организацией режимных процессов в течение дня, отметила следующее: в группе созданы оптимальные условия для их реализации; предусмотрены различные формы организации (прогулки, экскурсии, занятия, игры, трудовые и др. процессы); Используются словесные, наглядные приемы, личный пример. Ан ...
Эмпирическое исследование
психолого-педагогического сопровождения профессионального самоопределения
старшеклассников
Эмпирическое исследование по изучению эффективности работы психолого-педагогического сопровождения профессионального самоопределения старшеклассников проводилось на базе образовательного пространства г. Усть-Илимска Иркутской области в 2009 учебном году. В экспериментальной работе принимали участие ...