Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Анализ проведенных учебно-воспитательных мероприятий
Определи, в какой из частей биосферы живет большинство животных и растет большинство растений. Для этого покажи стрелкой, где они живут. После этого посчитай и подведи итог Подпиши названия оболочек Земли, в которых мы чаще всего встречаем изображённых животных. Какую оболочку называют живой? В как ...

Анализ проведения режимных процессов
Наблюдая за организацией режимных процессов в течение дня, отметила следующее: в группе созданы оптимальные условия для их реализации; предусмотрены различные формы организации (прогулки, экскурсии, занятия, игры, трудовые и др. процессы); Используются словесные, наглядные приемы, личный пример. Ан ...

Эмпирическое исследование психолого-педагогического сопровождения профессионального самоопределения старшеклассников
Эмпирическое исследование по изучению эффективности работы психолого-педагогического сопровождения профессионального самоопределения старшеклассников проводилось на базе образовательного пространства г. Усть-Илимска Иркутской области в 2009 учебном году. В экспериментальной работе принимали участие ...