Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Понятие осложненного поведения подростков, его сущность, признаки и причины появления
Как известно, многим детям и подросткам свойственны какие-то временные отклонения в поведении. Как правило, они легко преодолеваются усилиями родителей, учителей, воспитателей. Но поведение определенной части детей выходит за рамки допустимых шалостей и проступков, и воспитательная работа с ними, с ...

Анализ эффективности проделанной работы по использованию методов и форм формирования коллектива младших школьников
Целью анализа эффективности работы по использованию методов и форм мы выявили: выявить уровень сформированности коллектива. В эксперименте можно определить следующие задачи: выявить изменения, которые произошли в представлении учащихся и навыков взаимоотношения сформированности в коллективе, в резу ...

Эволюция традиционного воспитания в Древнем Дагестане
Проводимая в России реформа образования предполагает всесторонний учет социально-экономических и национальных особенностей развития каждого субъекта РФ и каждого народа, исследование его образовательных и воспитательных традиций. Знание этих особенностей в различные эпохи, их историко-педагогическа ...