Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Роль воспитателя в процессе подготовки детей к школе
Дошкольные учреждения всех типов создаются в целях общественного воспитания детей раннего и дошкольного возраста. Они действуют в соответствии с «Основами законодательства РФ об образовании», «Уставом детского сада», а также программно-методическими, инструктивными и нормативными документами Минист ...

Способы повышения качества обучения английскому языку
Сегодня в повышении качества обучения иностранному языку преобладают способы, основанные на творческом подходе к усвоению иностранного языка. Примеры творческих упражнений: 1) упражнение «Собираем ребенка в школу». Учащиеся разбиваются на две группы: мама и ребенок. И в игровой форме воспроизводят ...

Духовное и нравственное воспитание человека
Специфическая особенность спорта - обязательность соревнований прямо и наиболее значительно влияет на - духовно, нравственное формирование личности. Как известно, в любом виде спорта соревнования проводятся по жестоким правилам. Действующий регламент обусловливает не только сам ход соревновательной ...