Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Кружок математики в 5 классе, организованный с помощью проблемного метода обучения
Кружок рассчитан на 10 занятий. Возможно проведение кружка в любой период обучения в 5 классе, так как материал кружковых занятий не связан с программным материалом. С нашей точки зрения целесообразно проводить данный кружок во втором полугодии, а в первом полугодии можно организовать кружок, содер ...

Тренинг «волшебное ожерелье»
«Волшебное ожерелье». Цель: создание условий для формирования эффективных форм поведения, смещения агрегации и мышечной релаксации, снятия эмоционального напряжения; содействие повышению групповой сплоченности; формирование чувства близости с другими людьми, принятия детьми друг друга, чувства ценн ...

Сущность понятия «познавательная активность»
Обществу особо необходимы люди, имеющие высокий общеобразовательный и профессиональный уровень подготовки, способные к решению сложных социальных, экономических, политических, научно-технических вопросов. Познавательная активность является социально значимым качеством личности и формируется у школь ...