Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Понятие и схемы рефлексии
1. А. Прежде всего необходимо подчеркнуть специфику ситуаций в которых необходима рефлексия (Р), т.е. собственно её предназначение. По Г.П.Щедровицкому в мыследеятельности возникают ситуации затруднения, когда замысленное преобразование невозможно произвести наличными средствами. Далее Георгий Петр ...

Физическая подготовленность
Для исследования физической подготовленности школьников использовались достаточно простые, апробированные и доступные для учителя физической культуры методы. В программу исследования физической подготовленности в условиях школы были введены следующие тесты: 1) прыжок в длину с места; 2) прыжок в вы ...

Изучение перспективного и календарного планов работы группы
В процессе изучения перспективного плана отметила, структуру написания в табличной форме, обозначены цель, задачи, формы, работы, разработано примерное содержание и сроки реализации поставленных целей и задач плана, в различных видах деятельности в игровой, учебной, и т.д. Учтены основные направлен ...