Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Развитие памяти в дошкольном возрасте
Важнейшей особенностью дошкольного возраста, с точки зрения Л. С. Выготского, является то, что здесь складывается новая система психических функций, в центре которой - память. Память дошкольника является центральной психической функцией, которая определяет остальные процессы. В дошкольном возрасте ...

Анализ основного учебника по «Технологии» для 6 класса
Учебник «Технология» для учащихся 6 класса общеобразовательной школы (вариант для девочек) под редакцией В.Д. Симоненко подготовлен в соответствии с программой образовательной области Технология, отвечает федеральному стандарту. В нем раскрываются технологии обработки ткани, продуктов питания, дают ...

Способы и методы разрешения педагогических конфликтов
Способы разрешения конфликта, особенно если он не зашел далеко, известны и доступны каждому - это нежность, юмор и шутка. В более сложных ситуациях учителя прибегают к компромиссу, делая уступки, друг другу, или сами проводят анализ, стремясь разобраться в себе и своих поступках, и только в исключи ...