Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то (2)

Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

или .

Но по условию теоремы

.

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы .

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 18).

Пусть .

Заключим область в прямоугольник , где

.

Это интересно:

Понятие учебной программы как одного из компонентов эскизной модели педагогической системы
У ч е б н а я п р о г р а м м а - это документ. в котором в соответствии с требованиями к личности будущего специалиста определено содержание обучения и наиболее целесообразные способы организации его усвоения учащимися. Приведенное определение понятия “ учебная программа “ соответствует сложившему ...

Анализ проведения режимных процессов
Наблюдая за организацией режимных процессов в течение дня, отметила следующее: в группе созданы оптимальные условия для их реализации; предусмотрены различные формы организации (прогулки, экскурсии, занятия, игры, трудовые и др. процессы); Используются словесные, наглядные приемы, личный пример. Ан ...

Лингвистические основы формирования словообразовательной стороны речи у дошкольников
" . Не только интеллектуальное развитие ребенка, но и формирование его характера, эмоций у личности в целом, находится в непосредственной зависимости от речи" (Л. С. Выгодский).Вот почему среди многих важных задач воспитания и обучения в дошкольных учреждениях, задача обучения родному язы ...