Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то (2)

Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

или .

Но по условию теоремы

.

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы .

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 18).

Пусть .

Заключим область в прямоугольник , где

.

Это интересно:

Самостоятельность как первое активное проявление индивидуальной свободы ребенка
По мнению М. Монтессори, человек не может быть свободен, если он несамостоятелен. Поэтому первые активные проявления индивидуальной свободы ребенка должны быть направляемы так, чтобы в этой активности вырабатывалась его самостоятельность. Маленькие дети начинают требовать самостоятельности уже с мо ...

Формы проявления одаренности
Впервые мысль о выделении данного параметра одаренности была четко сформулирована в тексте "Рабочей концепции одаренности". Авторы предлагают рассматривать детскую одаренность еще в одном аспекте - насколько она в данное время проявлена ребенком. Одаренность, проявляющуюся в деятельности ...

Стиховедческие методические аспекты изучения лирики в школе
Лирика как литературный род противостоит эпосу, и драматургии, поэтому при ее анализе следует в высшей степени учитывать родовую специфику. Если эпос и драма воспроизводят человеческое бытие, объективную сторону жизни, то лирика – человеческое сознание и подсознание, субъективный момент. Эпос и дра ...