Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Использование методов воспитания в учебно-воспитательном процессе с учащимися 5 класса
План-конспект урока музыки в 5 классе. Тема четверти: Что было бы с музыкой, если бы не было литературы. Тип урока: Урок углубление в тему. Художественно-педагогическая задача: Познакомить с творчеством Г.Свиридова, формировать духовный мир детей на основе родной культуры. Музыкальный материал: Г.С ...

Анализ деятельности Министерства образования и науки Челябинской области на примере управления дошкольного образования
Управление дошкольного образования является структурным подразделением министерства, обеспечивающим осуществление федеральной (в части, отнесенной к компетенции субъекта РФ) и региональной политики в сфере дошкольного образования. В своей деятельности специалисты управления руководствуются Конститу ...

Особенности формирования математических знаний, умений, навыков у младших школьников с трудностями в обучении
Одним из важнейших условий эффективности учебно-воспитательного процесса является предупреждение и преодоление тех трудностей, которые испытывают младшие школьники в учёбе. Среди учащихся общеобразовательной школы есть значительное число детей, имеющих недостаточную математическую подготовку. Уже к ...