Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Модели нетрадиционных уроков
Урок был, есть и в образном будущем останется главной формой организации обучения и воспитания учащихся. Все попытки найти эквивалент уроку, заменить его другими формами организации учебных занятий ни в России, ни за рубежом успеха не имели. Однако, это не значит, что урок – нечто застывшее и неруш ...

Условия, способствующие развитию познавательной активности
Развитие личности - есть бесконечный процесс зарождения новых возможностей и превращения их в реальную действительность. Возрастные изменения в условиях обучения и воспитания детей оказывают решающее влияние не только на психику, но и на познавательную активность. Дети младшего школьного возраста м ...

Коррекционно-педагогическая работа по развитию грамматического строя речи детей старшего дошкольного возраста с ОНР
Адекватная оценка речевого развития обследуемого ребенка обязательно включает в себя не только то, что они не знают, не умеют, но и то, что они знают, умеют, а также то, что лежит в ближайшей зоне их речевого развития. Всесторонний анализ и оценка развития грамматического строя речи обследуемого ре ...