Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Задачи, методы и организация исследования
В ходе работы по данному вопросу были сформулированы две задачи, первая состоит в изучении тотальных признаков у детей 7 - 15. Для решения данной задачи были проведены измерения детей с 1 по 9 классы. В наши измерения входили длина тела, вес тела и обхват грудной клетки. Второй поставленной задачей ...

Формы урока и методические особенности использования музыки на уроках
По теории физического воспитания уроки физической культуры в средней школе подразделяются на следующие типы: а) вводные уроки; б) уроки ознакомления с новым материалом, в) уроки совершенствования пройденного материала, г) смешанные уроки, д) учетные уроки. Рассмотрим целесообразность использования ...

Цели, задачи и методика опытно-экспериментальной работы, содержание и результаты начального этапа
В первой главе нами были рассмотрены теоретические аспекты использования активных методов обучения на уроках математики как средства стимулирования познавательной активности младших школьников с трудностями в обучении, уточнено значение ключевых понятий: познавательная активность, методы и средства ...