Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Особенности развития творческих способностей у младших школьников
Говоря о развитии способностей, необходимо остановиться на вопросе о том, когда, с какого возраста следует развивать творческие способности детей. Психологи называют различные временные рамки от полутора до пяти лет. Также существует гипотеза, что развивать творческие способности необходимо с самог ...

Сущность, содержание и виды мультимедиа в образовании
Мультимедиа является исключительно полезной и плодотворной образовательной технологией благодаря присущим ей качествам интерактивности, гибкости, и интеграции различных типов мультимедийной учебной информации, а также благодаря возможности учитывать индивидуальные особенности учащихся и способствов ...

Проблемы управления качеством образования
Проблемой управления качеством образовательных услуг ДОУ и дошкольного образования в целом занимаются многие современные исследователи: К.Ю. Белая, Н.Н. Лященко, Л.В. Поздняк, Л.И. Фалюшина, П.И. Третьяков и др. Однако конкретных механизмов ее решения в детском саду наукой пока не разработано, поэт ...