Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Лингвистические основы методики развития связной речи
Термин «связная речь» в современной науке употребляется в нескольких значениях: процесс, деятельность говорящего; продукт, результат этой деятельности, текст, высказывание; название раздела работы по развитию речи (Б.А. Глухов, Т.А. Ладыженская, М.Р. Львов, А.Н. Щукин); отрезок речи, обладающий зна ...

Основа бизнес – плана
Финансово – экономическая деятельность образовательного учреждения (ОУ) должна планироваться в соответствии с потребностями рынка. Для этого важно составить бизнес - план, который позволит: определить конкретные направления предпринимательской деятельности; оценить конкурентоспособность товаров, ко ...

Формирование уважения к семье и сверстникам у детей с нарушением интеллекта
Нравственное становление личности младших школьников с нарушением интеллекта во многом определяется правильно организованным общением как детей между собой, так и с родителями. Имея нарушение интеллекта, ребенок не может справиться с общеобразовательной программой, что создает конфликтную ситуацию ...