Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Организация университетов
Руководство Первоначально университет подчинялся специальному представителю духовенства, обычно эта должность называлась канцлер университета. Позднее, уже с 12 в. канцлер или становится выборным главой университета из среды его докторов, как в Оксфорде или же теряет реальную власть, как в Париже. ...

Анализ программ эстетического воспитания в детском саду
Все авторы анализируемых программ сходятся в том, что велико воздействие искусства на дошкольника. Педагоги, работавшие над созданием программы «Детство», полагают, что такие виды деятельности как изобразительная, художественно – театральная деятельность, детский труд занимают особое место в воспит ...

Классификация задач
Информатика изучает широкий спектр вопросов, связанный с тем, что многие разделы данной науки лежат на стыке с другими школьными дисциплинами и это затрудняет классификацию задач. Совокупность упражнений по информатике можно систематизировать на базе традиционной классификации заданий по формирован ...