Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Состояние предпосылок формирования письма у учащихся младших классов речевой школы
Исследование слухо-моторных координаций выявило у значительной части детей ЭГ трудности анализа раздражений неречевого характера (по ритму и числу ударов), а также трудности воспроизведения правильно воспринятого на слух образца за счет несовершенства двигательных функций руки. В результате исследо ...

Тестирование по методу цепочек вопросов
Автоматизированная система контроля знаний, созданная как результат выпускной квалификационной работы и дипломного проектирования в подсистеме «Создание теста» предлагает преподавателю использовать цепочную систему вопросов, когда несколько вопросов объединяются в фиксированную последовательность ( ...

Методы и инструменты исследования взаимодействия стилей воспитания и последствий ошибок восприятия и транслирования семейных отношений
Для анализа взаимозависимости стилей воспитания и уровня эгоцентризма подростков мы выбрали две проективные методики, одна из которых показывает восприятие подростком семейной ситуации (ADOR, сокращено «Подростки о родителях») и проективный тест эгоцентрических ассоциаций (ЭАТ), выявляющий уровень ...