Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Алгоритмы прямого тестирования в интеллектуальной автоматизированной системе контроля знаний
Прямым тестированием будем называть способ контроля знаний обучаемого, при котором структура теста (т.е. набор и порядок предъявления тестовых заданий) не зависит от фактических ответов обучаемого. Практически все существующие в настоящее время АСКЗ функционируют в режиме прямого тестирования, одна ...

Эстетика в деятельности учителя
«Эстетикос» по-гречески означает «имеющий отношение к чувственному восприятию». Таким образом, традиционное для советской философии формализованное определение эстетики как науки о прекрасном не совсем раскрывает смысл этого понятия. Применительно к педагогической деятельности это уточнение весьма ...

Технология сотрудничества
В рамках этой технологии обучение проводится в малых группах. Основные идеи, присущие трём вариантам организации работы малых групп,- общность цели и задач, индивидуальная ответственность и равные возможности успеха. Обучение в команде. Ставится групповая цель. Успех может быть достигнут только при ...