Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Этапы и содержание формирования математических представлений детей старшего дошкольного возраста
Как мы уже отмечали ранее дошкольный возраст – это начало всестороннего развития и формирования личности. В этот период деятельность анализаторов, развитие представлений, воображения, памяти, мышления, речи в комплексе приводят к формированию чувственного этапа познания мира. Интенсивно формируется ...

Изучение специфики труда воспитателя
Проведя наблюдение за работой воспитателя в первую и вторую половину дня, был составлен хронометраж его деятельности, который отражен в таблице. Хронометраж деятельности воспитателя Время Режимный процесс Деятельность воспитателя Деятельность помощника воспитателя Деятельность детей 6. 45 – 7.00 Пр ...

Учебные модули семинарских занятий по дисциплине "социология"
Учебный модуль семинарского занятия на тему: "Предмет и метод социологии" Номер учебного элемента Учебный материал с указанием заданий Рекомендации по выполнению заданий, оценка УЭ – 0 Цель: в результате выполнения задания данного модуля Вы должны закрепить получить знания о понятие социа ...