Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Понятие «игра»
В современной педагогической литературе определений понятию «игра» дается много. Так, например, П.И. Пидкасистый и Ж.С. Хайдаров дают следующее определение: «Игра есть то, что задумано и сделано; то, что есть, что думает и о чем думает субъект, когда он действительно увлечен этой деятельностью с не ...

Особенности развития речи детей раннего возраста
Уровень современных научных знаний о ребенке раннего возраста позволяет судить о младенчестве с точки зрения уникальности этого периода. Не случайно в последние десятилетия во всем научном мире появился особый интерес к раннему периоду жизни ребенка. Особый интерес вызывает интеллектуальное и позна ...

Интерактивное оборудование в ДОУ и требования к организации работы с ним
Любого педагога и родителя волнует вполне закономерный вопрос о возможном негативном воздействии компьютерной техники на организм ребенка. Обычно детям дошкольного возраста рекомендуют находиться от 15 до 20 минут, а то и не более 10 минут. Многие дети проводят за компьютером гораздо больше времени ...