Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Применение ведущей деятельности дошкольника в процессе специальной подготовки к школе
Специальная подготовка старшего дошкольника к школе – это воспитание у него осознанного положительного отношения к общественной и учебной деятельности, внушение понятия важности и необходимости обучения в школе. В задачи воспитателя входят следующие действия, он должен: вызвать у ребёнка желание ст ...

Приемы развития геометрических представлений младших школьников при обучении математики в вариативных программах
Анализируя учебники по математики для начальной школы, можно сказать, что в них присутствуют задания на развития пространственного мышления. Но несмотря на это, нужно использовать не только тот материал, что дан в учебнике, но и искать свои задания, упражнения, которые бы формировали у учащихся про ...

Порядок проведения аттестации. Система организации квалификационного экзамена
Присвоение квалификационных категорий – второй, первой, высшей осуществляется последовательно. К аттестации допускаются педагоги, имеющие образование в соответствии с тарифно-квалификационными характеристиками, стаж работы на должности 2 года, а для первой и высшей категории – стаж работы в получен ...