Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .

Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:

.

Замена переменных в двойном интеграле

1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.

2. Пусть поле осуществляет преобразование области в область , имеет кусочно–гладкую границу.

3. Пусть области и являются ограниченными.

4. Так как и имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.

5. Пусть поле задано двумя функциями: . Смешанные производные непрерывны в , т.е. на выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:

. (5)

Доказательство. Изобразим области и (рис. 23).

Разобьем область сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область имеет кусочно-гладкую границу.

Преобразование порождает разбиение области на частичные подобласти с помощью конечного числа кусочно–гладких кривых .

Между областями и существует простая связь:

Это интересно:

Роль семьи и условия семейного воспитания
“Семья - это первая общественная ступень в жизни человека. Она с раннего возраста направляет сознание, волю, чувства детей. Под руководством родителей ребенок приобретает свой первый жизненный опыт, элементарные знания об окружающей действительности, умения и навыки жизни в обществе.” Велика роль с ...

Правовой статус доходов
Школа вправе вести предпринимательскую и иную, приносящую доход, деятельность, предусмотренную п.2 ст. 47 закона «Об образовании» РФ. Причем учредитель вправе приостановить предпринимательскую и иную, приносящую доход, деятельность, если она идет в ущерб образовательной, предусмотренной уставом, до ...

Зарубежный опыт формирования системы образования
Рассмотрим системы образования Австралии и США. Система образования Австралии. Австралия предлагает привлекательные условия для получения образования. Несмотря на то, что учебные заведения отличаются своими размерами и местоположением, все они предлагают большой выбор качественных программ и курсов ...