Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .

Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:

.

Замена переменных в двойном интеграле

1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.

2. Пусть поле осуществляет преобразование области в область , имеет кусочно–гладкую границу.

3. Пусть области и являются ограниченными.

4. Так как и имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.

5. Пусть поле задано двумя функциями: . Смешанные производные непрерывны в , т.е. на выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:

. (5)

Доказательство. Изобразим области и (рис. 23).

Разобьем область сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область имеет кусочно-гладкую границу.

Преобразование порождает разбиение области на частичные подобласти с помощью конечного числа кусочно–гладких кривых .

Между областями и существует простая связь:

Это интересно:

Модель текста задачи как основа наглядно-образного мышления младших школьников
Мышление школьников при изучении математики строится не только на основе общих психологических механизмов и операций, адекватных усвоению научного знания, но и включает формирование специфических механизмов, моделирующих существенные признаки и способы описания познаваемых объектов, выраженные в ис ...

Психолого-педагогические предпосылки формирования гуманистических отношений в коллективе у младших школьников
В младшем школьном возрасте все большее значение для развития ребенка приобретает его общение со сверстниками. В общении ребенка со сверстниками не только более охотно осуществляется познавательная предметная деятельность, но и формируются важнейшие навыки межличностного общения и нравственного пов ...

Особенности применения дидактических игр при обобщении знаний учащихся
На этапе обобщения знаний целесообразно проводить уроки в форме путешествия в сказочную страну или условной экскурсии в лес с элементами игры. При обобщении темы “Нумерация чисел в пределах 20” можно предложить следующую ситуацию. Класс отправляется на луг ловить бабочек. Начинается игра “Поймай ба ...