Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .

Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:

.

Замена переменных в двойном интеграле

1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.

2. Пусть поле осуществляет преобразование области в область , имеет кусочно–гладкую границу.

3. Пусть области и являются ограниченными.

4. Так как и имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.

5. Пусть поле задано двумя функциями: . Смешанные производные непрерывны в , т.е. на выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:

. (5)

Доказательство. Изобразим области и (рис. 23).

Разобьем область сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область имеет кусочно-гладкую границу.

Преобразование порождает разбиение области на частичные подобласти с помощью конечного числа кусочно–гладких кривых .

Между областями и существует простая связь:

Это интересно:

Особенности развития критического мышления школьников в процессе обучения
В основе технологии критического мышления лежат проверенные временем образовательные традиции. Это, в первую очередь, конструктивистская традиция Ж. Пиаже и Л. Выготского. Рассматривая основные критерии дидактики: обучение и развитие, и споря об их приоритетности, они пришли к одному выводу: мышлен ...

Проблемы защиты детей от вредного воздействия СМИ в России и Зарубежом
Многие родители задают закономерный вопрос - влияет ли телевидение на сознание ребенка? К сожалению, ответ неутешительный - да, влияет и очень сильно. В среднестатистической семье телевизор включен до 7-8 часов в день. Больше всего времени перед ним проводят дошкольники и пенсионеры, меньше школьни ...

Состояние звукопроизношения
В ходе проведенного исследования состояния звукопроизношения у детей было установлено, что у 20% учащихся контрольной группы (КГ) были обнаружены недостатки произношения звуков, которые проявлялись у них при произнесении слогов, слов, предложений. Все нарушения звукопроизношения у испытуемых проявл ...