Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .

Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:

.

Замена переменных в двойном интеграле

1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.

2. Пусть поле осуществляет преобразование области в область , имеет кусочно–гладкую границу.

3. Пусть области и являются ограниченными.

4. Так как и имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.

5. Пусть поле задано двумя функциями: . Смешанные производные непрерывны в , т.е. на выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:

. (5)

Доказательство. Изобразим области и (рис. 23).

Разобьем область сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область имеет кусочно-гладкую границу.

Преобразование порождает разбиение области на частичные подобласти с помощью конечного числа кусочно–гладких кривых .

Между областями и существует простая связь:

Это интересно:

Понятие об игре и игровой деятельности
Анализируя игру как вид деятельности, следует, прежде всего, выяснить её природу. Сразу необходимо отметить, что по данному вопросу в отечественной и зарубежной психологии имеются различные точки зрения. Я представлю некоторые из них, которые в своё и по сей день, получили наибольшее распространени ...

Условия проведения утренней гимнастики
Утренняя гимнастика может проводиться на воздухе (на участке детского сада, на спортивной площадке) или в хорошо проветриваемом помещении (физкультурном, музыкальном залах, групповых комнатах). Необходимо соблюдать гигиенические требования к одежде, обуви, месту проведения, оборудованию. Для ритмич ...

Диагностика межнациональных отношений младших школьников
Для диагностики эстетического отношения младших школьников нами были использованы устный (1–2 классы) и письменный (3–4 классы) опрос, анкетирование, сочинение по фиксированному плану, в результате чего выявлено, что эстетические представления детей в большей степени связаны с внешним видом людей и ...