Методические рекомендации по использованию информационных технологий на практических занятиях

найти точки, наиболее близкие к центру и наиболее удаленные от него.

Решение

1. Пусть точка лежит на поверхности эллипсоида, тогда расстояние от нее до центра вычисляется по формуле .

2. Очевидно, максимальное значение подкоренного выражения даст наибольшее, а минимальное – наименьшее расстояние .

3. Следовательно, задача сводится к исследованию на экстремум функции трех переменных при уравнении связи .

4. Составим вспомогательную функцию (функцию Лагранжа):

.

5. Решаем систему уравнений, тем самым, проверяя необходимое условие существования экстремума:

Итак, получаем:

Из последнего уравнения системы следует, что не могут быть одновременно, равняться нулю. Поэтому один из сомножителей

должен равен нулю.

6. Пусть , т.е. . Тогда , так как , следовательно, . Из четвертого уравнения системы получаем . Таким образом, получили две стационарные точки: .

Рассуждая аналогично при получим , а при стационарные точки:.

Полученные точки являются концами трех главных осей эллипсоида. Так как , то можно утверждать, что в точках функция достигает максимума, а в - минимума. В стационарных точках экстремума не существует.

Ответ: - максимума, - минимума.

Переходим к следующей теме, в которой понадобятся уже имеющиеся знания, но применяемые для другой цели – отыскания наибольших и наименьших значений функции. В частности, изучается только случай замкнутой области. Здесь можно спросить одного из студента об алгоритме нахождения наибольших и наименьших значений функции в замкнутой области, который изложен в лекционном курсе. Затем рассмотреть этот алгоритм на конкретном примере.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, заданной неравенствами .

Решение

1. Первым этапом решения примера является изображение этой области:

, т.е. это область ограниченная

прямыми – это треугольник.

Это интересно:

Семейное воспитание
Любое явление жизни разворачивается в пространстве, и для каждого свершения существует свое соответствующее пространство. Воспитательный процесс как социально-психологический феномен конструируется, реализуется и развивается во вполне определенном социуме, имеющем свои пространственные рамки. В сво ...

Методы и средства стимулирования познавательной активности младших школьников
Анализируя современные тенденции в использовании активных методов обучения младших школьников с трудностями в обучении на уроках математики, мы отмечаем, что приоритет должен отдаваться методам и средствам, направленным на стимулирование познавательной активности. Важно иметь в виду, что именно в м ...

Роль дидактических игр в процессе математического развития детей дошкольного возраста
Среди разнообразных игр особое значение для детей дошкольного возраста имеют дидактические игры. Дидактические игры - это разновидность игр с правилами, специально созданные взрослыми в целях обучения и воспитания детей. Они направлены на решение конкретных задач в обучении детей, но в тоже время в ...