Разработка методики обучения теме экстремумов

В математике изучение задач на нахождение максимума и минимума началось очень давно. Но только лишь в эпоху формирования математического анализа были созданы первые методы решения и исследования задач на экстремум.

Потребности практической жизни, особенно в области экономики и техники, в последнее время выдвинули такие новые задачи, которые старыми методами решить не удавалось. Надо было идти дальше.

Потребности техники, в частности космической, выдвинули серию задач, которые также не решались средствами вариационного исчисления. Необходимость решать их привела к созданию новой теории, получившей название теории оптимального управления. Основной метод в теории оптимально управления был разработан в пятидесятые – шестидесятые годы советскими математиками Л.С. Понтрягиным и его учениками. Это привело к тому, что теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям.

В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное (иногда говорят – оптимальное) решение. Огромное число подобных проблем возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.

Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было сколько-нибудь единых подходов. Но примерно триста лет назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.

Накопление методов дифференциального исчисления приняло наиболее явную форму у Ферма. В 1638 году он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции f(x). Ферма составлял уравнение (f (x+h) – f(x))/h=0 и после преобразований в левой части полагал h=0, вопреки мнению многих исследователей, которые видели в этой идеи исчисления бесконечно малых. В действительности, Ферма нашел это условие и аналогичное (f(y) – f(x))/(y-x)=0 при y=x ещё алгебраическими путями.

Рассуждения при нахождении экстремума функции f(x) следующие. Пусть для некоторого x функция достигает максимума. Тогда f (x∙h)<f(x); f(x) Ph+Qh2 …<f(x). Вычитаем из обеих частей и делим на h, откуда P+Qh …<0. Так как h можно выбрать любой малости, член P будет по модулю больше суммы всех остальных членов. Неравенство поэтому возможно лишь при условии P=0, что и дает условие Ферма. В случае минимума рассуждения аналогичные. Ферма знал также, что знак Q определяет характер экстремума.

К сожалению, Ферма не стремился публиковать свои работы, кроме того, пользовался труднодоступными для усвоения алгебраическими средствами Виета с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциального исчисления.

Накопление фактов дифференциального исчисления происходило быстро. В «Дифференциальном исчислении» (1755) Эйлера это исчисление появляется уже в весьма полном виде.

Правила определения экстремумов функции одной переменной y=f(x) были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос для функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функции многих переменных.

В XVIII веке возникло исчисление вариаций. В трудах Эйлера и Лагранжа оно приобрело вид логически стройной математической теории. Главной задачей, решаемой средствами этого исчисления, являются отыскание экстремумов функционалов.

Как видно из истории развития экстремумов функции, они занимают далеко не самое последнее место в математической науке. Когда-то экстремумом функции одной переменной занимались лучшие умы человечества, а сейчас каждый школьник имеет возможность овладеть навыками отыскания экстремума, и кто знает, может через несколько лет экстремум функции нескольких переменных займет достойное место и в школьной программе. А пока тема «Экстремум, условный экстремум и наибольшие, наименьшие значения функции двух переменных» является неотъемлемой частью курса математического анализа, изучаемого в высшей школе.

Цель данного курса заключается в обосновании тех понятий, первое представление о которых дается в школе, а так же этот курс имеет общеобразовательный и прикладной характер.

Целью данной выпускной квалификационной работы является разработка методики обучения теме «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функции двух переменных» в педагогическом вузе. Выполнение поставленной цели потребовало выполнение следующих задач:

– разработка методических рекомендаций по проведению лекционных и практических занятий по исследуемой теме;

– создание электронного пособия «Экстремумы функции нескольких переменных».

Объектом данного исследования выступает процесс организации учебной деятельности в педагогическом вузе.

В качестве предмета исследования, следует обозначить методику изучения темы «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функции двух переменных» в педагогических вузах.

Выполнение поставленных задач потребовало привлечение таких методов исследования:

– анализ математической психолого-педагогической и учебной литературы;

– изучение опыта преподавателей вуза.

Практическая значимость данного исследования заключается в том, что разработанные методические рекомендации по изучению темы «Экстремум, условный экстремум и наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных» позволят преподавателям более быстро подготовиться к лекционным и практическим занятиям, избежать ошибок при их проведении, а студентам лучше и быстрее усвоить новый материал. Электронное пособие, разработанное в результате исследования, поможет самостоятельно изучить данную тему, а преподавателю проконтролировать знания студентов по данной теме. С его помощью можно проводить практические занятия в компьютерном классе, что позволит экономить время на объяснении нового материала, а сосредоточить его на закреплении умений и навыков студентов.

• Понятие экстремума функции двух переменных
• Необходимое условие экстремума функции трех переменных
• Необходимое условие экстремума функции многих переменных
• Достаточное условие экстремума функции двух переменных
• Условный экстремум функции двух переменных
• Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
• Психологический аспект юношеского возраста
• Тематическое планирование лекционных занятий
• Методические рекомендации по проведению лекционных занятий
• Методические основы преподавания практических занятий по теме математического анализа «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных»
• Методические рекомендации по проведению практических занятий
• Методические рекомендации по использованию информационных технологий на практических занятиях
• Электронное пособие по теме «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных»

Это интересно:

Зарубежный опыт формирования системы образования
Рассмотрим системы образования Австралии и США. Система образования Австралии. Австралия предлагает привлекательные условия для получения образования. Несмотря на то, что учебные заведения отличаются своими размерами и местоположением, все они предлагают большой выбор качественных программ и курсов ...

Этапы чтения
Какой бы характер ни носило чтение, в нем можно условно выделить некоторые этапы. Правда, в зависимости от опыта и привычек читающего, от задач и характера чтения эти этапы могут быть разными, могут менять свою очередность. Например, при поверхностном чтении отсутствует ряд этапов по сравнению с уг ...

Возможности использования интерактивной доски в начальной школе
Любой урок имеет двух субъектов - учителя и учеников. Доска третьим субъектом стать не может. Не доска учит, а учитель. Наличие интерактивной доски в классе не делает урок развивающим, таким его может сделать учитель, ясно представляющий цель, использующий эффективные методы обучения, а доска – это ...