Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Общая характеристика детей, принимавших участие в эксперименте
В исследовании приняло участие 28 детей в возрасте 3–4 года, из них девочек – 12 человек, мальчиков – 16 человек. Вся выборка детей была разделена на две группы в зависимости от состояния зрения. В первую группу вошли дети с нормальным зрением, во вторую группу – дети с нарушениями зрения. Характер ...

Опытно-экспериментальное исследование социально-педагогической помощи многодетным семьям
Социальная защита населения и механизм ее реализации базируется на конституционно-правовых нормах и международных пактах о правах и свободах человека. Всеобщая Декларация прав человека провозглашает и признает права всех людей на жизнь, свободу и личную неприкосновенность, достоинство, свободу убеж ...

Психофизиологическая структура процесса письма
Письмо представляет собой сложную форму речевой деятельности человека, многоуровневый процесс, осуществляемый различными анализаторами: речеслуховым, рече-двигательным, зрительным, общедвигательным. Между ними в процессе письма устанавливается тесная взаимосвязь и взаимообусловленность. Структура э ...