Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Воспитание, его методы и задачи
В формировании личности, в частности, и общества, в целом, значительную роль играет ряд факторов. Воспитание, обучение, образование являются одними из важнейших. Так Достоевский сказал: «Человек облагораживается образованием», но бывает так, что «образование уживается иногда с таким варварством, та ...

Характеристика процесса социализации у ребенка от 3 до 7 лет
В общем понимании социализация есть процесс присвоения, приобретения социального, т.е. процесс, результатом которого является включение социального в структуру личности. В понятие "социализация" заложено определенное измерение - личность и социальная среда (коллектив, общество, другие люд ...

Ступени формирования орфографического навыка
Процесс формирования орфографического навыка проходит несколько ступеней. Первая ступень - учебная ситуация, которая порождает потребность проверить орфограмму. Ученик ставит перед собой цель, осознает задачу. Вторая ступень - поиск способа решения орфографической задачи: опора на знания, на правил ...