Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Духовные смыслы подтекстов гоголевской поэмы
В произведениях литературы XIX в. образы рассказчика и автора разделялись. Автор находился в стороне. Повествование полностью принадлежало рассказчику, автор лишь был наблюдателем происходящего. Таковы произведения А.С.Пушкина («Повести Белкина»), М.Ю.Лермонтова («Герой нашего времени»). По какому ...

Инновационные образовательные технологии в образовательных учреждениях РК
Примерами инновационных образовательных технологий в образовательных учреждениях РК может служит гимназия № 226 им. Б.К. Мергенбаева, Кент Айтеке Би, Казалинский р-н, Кызылординская обл. и Первый Темиртауский Классический Лицей, г. Темиртау. Гимназия № 226 им. Б. К. Мергенбаева – многопрофильное ср ...

Методы педагогической антропологии
Метод педагогической антропологии призван: аналитически исследовать человека как воспитателя и воспитуемого; синтезировать данные различных областей человековедения; параллельно осуществлять их педагогическую интерпретацию; опытным и экспериментальным путями изучать многочисленные факты, факторы, п ...