Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Воспитание в семьях со средним достатком
Средний достаток в семье – понятие, требующее уточнения. Условно назовем среднеобеспеченной ту семью, которая может себе позволить сосредоточить внимание и время матери исключительно на семье и ребенке или пригласить к ребенку педагога-профессионала, если мать предпочитает не расставаться с професс ...

Гейдельбергский университет: там, где учился доктор Фауст
Самый старый и самый престижный университет Германии был открыт в 1386 году при активной помощи Папы Римского. Первым был создан теологический факультет, затем юридический и философский. Первым ректором был Марсилиус фон Инген, а профессора приехали из Праги и Парижа. Тогда же первыми студентами Ге ...

Использование технологии знаково-контекстного обучения во время изложения дисциплины
Я предлагаю проводить внедрение технологии знаково-контекстного обучения в теме "дифференциальные уравнения" следующим образом. На вводной лекции, когда даны основные понятия, следует рассказать студентам о широком применении дифференциальных уравнений и их прикладной значимости, поскольк ...