Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Коррекционно-педагогическая работа по развитию грамматического строя речи детей старшего дошкольного возраста с ОНР
Адекватная оценка речевого развития обследуемого ребенка обязательно включает в себя не только то, что они не знают, не умеют, но и то, что они знают, умеют, а также то, что лежит в ближайшей зоне их речевого развития. Всесторонний анализ и оценка развития грамматического строя речи обследуемого ре ...

Полидисциплинарное изучение образования в рамках различных научных подходов
Образование относится к числу тех реальных явлений и процессов общественной жизни, которые привлекают пристальное внимание представителей целого ряда социальных и гуманитарных на­ук. Количественный рост числа тех среди них, которые занимались изу­чением образования, был пропорционален актуализации ...

Врачебно-педагогический контроль
В течение периода исследовательской работы за школьниками осуществлялся тщательный врачебно-педагогический контроль. На основании данных исследований оценивалась эффективность экспериментальных методик занятий со школьниками, физиологическая нагрузка, уровень физической подготовленности и состояние ...