Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Роль старшего педагога и заведующей в руководстве работой по развитию речи
Ведущая роль в руководстве работой детского сада принадлежит заведующей. Заведующая непосредственно руководит учебно-воспитательной работой, выступает как методист, воспитатель воспитателей. Поэтому очень важна ее высокая теоретическая и практическая подготовка. Если в детском саду есть лицо, отвеч ...

Закономерности процесса обучения
Результатом познания процесса обучения является выявление объективно существующих законов и закономерностей процесса обучения. Закономерность – это результат совокупного действия множества законов, поэтому она выражает многие связи и отношения, тогда как закон однозначно отражает определенную связь ...

Механизмы и условия формирования эффективного взаимодействия учителя с учениками
Как было показано в п.п. 1.1., 1.2., общение играет важную роль в учебно-воспитательном процессе. Используя общение, изменяя его содержание, тон, стиль, варьируя соотношение функций, можно изменять настроение ученика, его отношение к предметам и явлениям, обогащать его знания, развивать мышление, и ...