Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Цели и задачи социально-психологической поддержки учащихся
В последние годы опубликован ряд научных работ, авторы которых рассматривают теоретические и практические аспекты функционирования образовательных учреждений и особенности деятельности психологических служб в этих школах: Битянова М.Р., Качимская А.Ю. Целью работы психологов становится не просто об ...

Занятия с элементами театрализации
Из практики своей работы сделали вывод, что любая задача любого занятия решается детьми легче, проще и быстрее, если они ее обыгрывают. Поэтому театрализованная деятельность стала значительным помощником при подготовке и проведении занятий. Для дошкольников учебные задачи, прямо поставленные перед ...

Задачи, содержание и методика констатирующего этапа исследования
Констатирующий эксперимент был проведен в ДОУ № 72 г.Сыктывкара, с детьми подготовительной группы. В исследовании приняли участие 15 воспитанников. Цель констатирующего эксперимента: выявить особенности нравственно-экономической воспитанности детей подготовительной группы. В соответствии с целью ко ...