Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Использование общих методов с целью музыкального воспитания
«Теория и методика музыкального образования» опирается на общую педагогику. При этом критерий выбора методов работы в контексте специфики музыкального образования зависит от особенностей содержания учебного материала (его сложности и новизны), конкретных педагогических целей, подготовленности детей ...

Джаз как направление в мировой музыке и его воспитательный потенциал
Джаз – уникальное музыкальное направление, которое сформировалось в США на рубеже 19-20 веков и дало толчок к развитию целой плеяды различных музыкальных жанров. Из джаза вышли бибоп, рок-н-ролл, ритм-енд-блюз, джаз-рок, фьюжн, фанк. Джаз можно назвать прадедушкой практически всех современных музык ...

Изменение веса тела на протяжении физического развития школьников
Рис. 2. Величина веса тела и её производные. А – возрастные кривые веса. Б – интенсивность изменения веса. При оценке физического развития детей вес тела является одним из основных показателей, характеризующих динамику массы тела. В отличии от длины тела и окружности грудной клетки вес является вес ...