Необходимое условие экстремума функции трех переменных

По аналогии исследуем функцию трех переменных.

Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

,

чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство.

Если эту окрестность взять настолько малой, что бы знак равенства был исключён, т.е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки выполнялось строгое неравенство , то говорят, что в точке имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что функция в некоторой точке имеет экстремум.

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные: , то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим, что , сохраняя переменным; тогда получится функция от одной переменной : .

Так как предположили, что в точке существует экстремум (для определенности – пусть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестноститочки , необходимо выполняться неравенство: , так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что .

Таким образом, можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений:

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Это интересно:

Воспитательный потенциал семьи и факторы эффективности семейного воспитания
Семья является источником и опосредующим звеном передачи ребенку социально – исторического опыта, и, прежде всего, опыта эмоциональных и деловых взаимоотношений между людьми. Учитывая это, можно с полным правом считать, что семья была, есть и будет важнейшим институтом воспитания, социализации ребе ...

Особенности развития личности студента
Термин «студент» латинского происхождения, в переводе на русский язык означает «усердно работающий, занимающийся», т.е. овладевающий знаниями. Если изучать студента как личность, то 18–20 лет – это период наиболее активного развития нравственных и эстетических чувств, становления и стабилизации хар ...

Литературоведческие концепции об авторе и повествователе «Мертвых душ»: тождество и разграничения
Величайшее произведение Н.В.Гоголя «Мертвые души» не оставлено без внимания критиков, с тех пор как написано. И не удивительно, ведь каждый согласится, что все в поэме загадочно, начиная названием и заканчивая деталями. Загадочен и сам автор, который время от времени появляется на страницах поэмы и ...