Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
При отыскании экстремумов функции двух переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.
Пусть заданы функция
и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P (x, y), в которой значение функции
является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции
на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.
Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Проиллюстрируем сказанное на примере.
Пример №1.
Графиком функции
является верхняя полусфера (рис. 2).
Рис. 2.
Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке ,
лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции
на данной линии; ей соответствует точка M1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.
Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.
Определение 1. Говорят, что , где имеет в точке , удовлетворяющей уравнению , условный или относительный максимум (минимум): если для любой, удовлетворяющей уравнению , выполняется неравенство
.
Определение 2. Уравнение вида называется уравнением связи.
Теорема
Если функции и непрерывно дифференцируемы в окрестности точки , и частная производная , и точка является точкой условного экстремума функции относительно уравнения связи , то определитель второго порядка равен нулю:
Это интересно:
Понятие нравственного воспитания в психолого-педагогической литературе
Воспитание – процесс целенаправленного формирования личности. Это специально организованное, управляемое и контролируемое взаимодействие воспитателей и воспитанников, конечной своей целью имеющее формирование личности, нужной и полезной обществу. Все прогрессивные педагоги мира, которые принадлежал ...
Методика преподавания наречий
В школьной программе наречие изучается в 7 классе и является последней частью речи в ряду знаменательных слов. Учащимся известен уже определенный круг слов-наречий и их роль в предложении. Задача изучения данной грамматической категории в 7 классе выявить своеобразие наречия как части речи, определ ...
Обзор преподавания иностранных языков в г. Кызыле
В г. Кызыле иностранные языки в школах преподаются довольно не плохо. Ученикам и родителям предоставляется на выбор несколько языков - английский, французский или немецкий, а в Государственном лицее преподается и китайский. В школах проводятся различные викторины и праздники на иностранных языках. ...