Необходимое условие экстремума функции многих переменных

Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью, что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство:

.

Если эту окрестность взять настолько малой, чтобы знак равенства был исключён, т.е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки выполнялось строгое неравенство: ,

то говорят, что в точке имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что исследуемая функция в некоторой точке имеет экстремум.

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные:

,

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим , сохраняя переменным; тогда получится функция от одной переменной :

.

Так как предположили, что в точке существует экстремум (для определенности – пусть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности точки , необходимо выполняться неравенство:

,

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

.

Таким образом, можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений:

. (1)

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Замечания:Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так:

.

Обычно, рассматриваемая функция имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстремумы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к «подозрительным» на экстремуму, наряду со стационарными.

Иногда дается и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция не дифференцируема (им соответствуют, например, острия поверхности – графика функции).

Это интересно:

Психологические механизмы формирования учебно-познавательной мотивации младших школьников
Для рассмотрения механизмов формирования мотивации у детей необходимо определить основные категории мотивации учения: мотив, мотивация, мотивационная сфера, учебно-познавательный мотив. В психологии под термином "мотив" понимается не только как осознанная потребность или как предмет потре ...

Развитие педагогической антропологии как самостоятельной области знания
Появление этого совершенно непривычного термина не было случайностью. Поиски в сфере народного образования, переосмысление привычных взглядов на воспитание детей представляли значительный интерес для российского общества того времени. Отмена крепостного права ломала многие стереотипы и вызвала к жи ...

Использование дидактических игр для развития умственной активности дошкольников
В современной дошкольной педагогике общепринятой считается классификация игр, составленная на основе такого общего признака, как степень самостоятельности и творчества ребенка в игре. Данная классификация включает две большие группы игр: — творческие игры (сюжетно-ролевые, режиссерские, строит ...