Необходимое условие экстремума функции многих переменных

Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью, что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство:

.

Если эту окрестность взять настолько малой, чтобы знак равенства был исключён, т.е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки выполнялось строгое неравенство: ,

то говорят, что в точке имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что исследуемая функция в некоторой точке имеет экстремум.

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные:

,

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим , сохраняя переменным; тогда получится функция от одной переменной :

.

Так как предположили, что в точке существует экстремум (для определенности – пусть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности точки , необходимо выполняться неравенство:

,

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

.

Таким образом, можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений:

. (1)

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Замечания:Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так:

.

Обычно, рассматриваемая функция имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстремумы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к «подозрительным» на экстремуму, наряду со стационарными.

Иногда дается и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция не дифференцируема (им соответствуют, например, острия поверхности – графика функции).

Это интересно:

Реализация духовного воспитания подростков в учебно-воспитательном процессе
Пятый класс. Стержнем музыкальных занятий в пятом классе является рассмотрение разнообразных связей музыки с другими видами искусства и жизнью. Эти связи уже, безусловно, присутствовали на уроках музыки в предыдущие годы. Ребятами накоплен значительный опыт речевого и пластического ин­тонирования, ...

Состояние и основные проблемы системы образования Челябинской области
На 1 января 2006 года в Челябинской области действуют 1503 детских сада различной ведомственной подчинённости, в которых воспитываются 146,1 тыс. детей. Наблюдается рост детей посещающих дошкольные образовательные учреждения. За последние пять лет возросло детей на 14,9 тысяч. Учреждений дополнител ...

Развитие фонематического восприятия в онтогенезе
В соответствии с точкой зрения М. Е. Хватцева [ 19 ], различение фонем происходит сравнительно медленно: ещё на втором году жизни дети не различают слов бак, мак. Только со второй половины второго года начинается смысловая дифференциация слов, а с ней и смыслоразличительная функция звуков, то есть ...