Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
Пусть функция определена в области
и
будет внутренней точкой этой области.
Говорят, что функция в точке
имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью, что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство:
.
Если эту окрестность взять настолько малой, чтобы знак равенства был исключён, т.е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки выполнялось строгое неравенство:
,
то говорят, что в точке имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.
Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.
Предположим, что исследуемая функция в некоторой точке имеет экстремум.
Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные:
,
то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.
С этой целью положим , сохраняя
переменным; тогда получится функция от одной переменной
:
.
Так как предположили, что в точке существует экстремум (для определенности – пусть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности
точки
, необходимо выполняться неравенство:
,
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что
.
Таким образом, можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.
Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений:
. (1)
Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.
Замечания:Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так:
.
Обычно, рассматриваемая функция имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстремумы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к «подозрительным» на экстремуму, наряду со стационарными.
Иногда дается и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.
Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция не дифференцируема (им соответствуют, например, острия поверхности – графика функции).
Это интересно:
Методика обучения технологии
Методика обучения технологии как отрасль педагогической науки имеет свои объекты, задачи и методы исследования. Объектом изучения служит процесс трудового обучения, включая все его стороны: содержание учебного материала, методы преподавания, познавательную деятельность учащихся, результаты обучения ...
Сущность процесса подготовки детей к школе
Переход к школьному детству, характеризуется серьёзным изменением места детей в системе доступных им отношений и всего образа жизни. В связи с этим необходимо подчеркнуть тот факт, что положение школьников создает особенное моральное направление личности детей. Для них обучение является не просто с ...
Функции педагогического коллектива в процессе музыкального воспитания
учащихся
Музыкальное воспитание в специальном (коррекционном) учреждении для детей-сирот осуществляется учителем музыки и пения, музыкальным руководителем, педагогами дополнительного образования с помощью воспитателей. Учитель, музыкальный руководитель передает ученикам знания, развивает их способности, про ...