Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Использование интернета при подготовке к урокам ОБЖ
Информационное общество предъявляет новые требования к системе образования. Теперь одной из её целей является формирование высокого уровня информационной культуры. Особая роль при этом отводится использованию ресурсов и возможностей Интернета в педагогической практике учителя. Сегодня уже не вызыва ...

Лекционно-семинарская система обучения в профессиональном образовании
Лекционно-семинарская система в ее чистом варианте используется в практике высшего и послевузовского образования, т.е. в условиях, когда у обучающихся уже имеется определенный опыт учебно-познавательной деятельности, когда сформированы основные общеучебные умения и прежде всего умение самостоятельн ...

Особенности развития детей 4-5 лет
В развитии детей 4-5 лет происходит дальнейшее изменение и совершенствование структур и функций систем организма. Темп физического развития остается таким же, как и в предыдущий год. При нормальной двигательной активности рост усиливается, а при гиподинамии ребенок может иметь избыточный вес, но не ...