Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Анализ русской народной сказки " Колобок"
Русская народная сказка "Колобок"- сказка о животных. Сказка о том, как баба по просьбе деда испекла колобок и "положила на окошко студится". А колобок прыгнул с окошка и покатился по дорожке. Пока он катился он встречал различных зверей ( медведя, зайца, волка). Все звери хотел ...

Состояние предпосылок формирования письма у учащихся младших классов речевой школы
Исследование слухо-моторных координаций выявило у значительной части детей ЭГ трудности анализа раздражений неречевого характера (по ритму и числу ударов), а также трудности воспроизведения правильно воспринятого на слух образца за счет несовершенства двигательных функций руки. В результате исследо ...

Условный экстремум функции двух переменных
При отыскании экстремумов функции двух переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных. Пусть заданы функция и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P (x, ...