Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Подготовка воспитателя. Оценка воспитателем утренней гимнастики
Что бы достичь эффективного влияния утренней гимнастики на организм ребенка, надо составить план-конспект, определить последовательность упражнений, продумать и правильно записать методические указания. Воспитатель должен при этом помнить о способах организации детей, дозировке и темпе упражнений, ...

Наблюдение и анализ организации физкультурных мероприятий группы
Анализ утренней гимнастики Гимнастика проводится в физкультурном зале, после каждой группы проводится проветривание, по окончанию влажная уборка помещения и инвентаря, что соответствует гигиеническим условиям. Гимнастика начинается с разогревающих упражнений, упражнений для профилактики плоскостопи ...

Аудирование как один из видов речевой деятельности, сущность «Лексических умений аудирования»
Распознавание устной речи, или аудирование, в плане обучения этому виду речевой деятельности, представляет собой сложную и далеко не решенную проблему. А ведь именно аудирование (как об этом говорят отечественные и зарубежные методисты определяет в дальнейшем успех или неуспех всего практического о ...