Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Психолого-педагогические основы понятия «познавательной активности»
Обществу особо необходимы люди, имеющие высокий общеобразовательный и профессиональный уровень подготовки, способные к решению сложных социальных, экономических, политических, научно-технических вопросов. Познавательная активность является социально значимым качеством личности и формируется у школь ...

Возрастные особенности в проявлении агрессивности детей младшего школьного возраста и способы борьбы с ней
Агрессия детей младшего школьного возраста проявляется в том, что маленький ребенок, находясь в группе сверстников старается стать в этой среде популярным или авторитетным. Этим он удовлетворяет свое желание быть признанным и защищенным, пользоваться вниманием. Коммуникативные навыки в этом возраст ...

Формирование ценностно-ориентированной компетенции учащихся с целью воспитания поликультурной личности
Послание Президента Республики Казахстан Нурсултана Абишевича Назарбаева народу Казахстана свидетельствует о том, что наша Республика идет по правильному пути, в том числе и в сфере образования. В своем послании Президент отмечает, что у нас простая и ясная цель – жить лучше, чтобы будущее наших де ...