Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Экологические аспекты изучения темы «полимеры» в курсе химии средней общеобразовательной школы
Экологическое образование и развитие школьников – полноценная область знания, познания самого себя, окружающего мира, которая реально воздействует на формирование мировоззренческой компоненты их развития как личностей. Вашему вниманию представляется урок на тему: «Полимеры», наполненный экологическ ...

Патриотический клуб «Ермак»
Директор Ермаковской школы Любимского района Евгений Анатольевич Смирнов совместно со старшеклассниками в 2008 году решили создать краеведческий клуб. Выбрали название - «Ермак». Во-первых, что бы почтить село Ермаково. Во-вторых, потому что завоеватель Сибири Ермак Тимофеевич тоже был своего рода ...

Методика проведения занятий по теме : “ Издержки производства и себестоимость продукции сельхозпредприятий “
Н а основании логической структуры содержания обучения по теме: “Издержки производства и себестоимость продукции сельхозпредприятий “ ( рис. 1 ) нами разработан перечень учебных элементов ( табл 1 ) . В перечне учебных элементов , на основе поэтапного формирования умственных действий и умений опред ...