Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D.

Пусть в этой области функция имеет конечные частные производные, кроме отдельных точек области.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса в этой области найдется точка, в которой функция примет наибольшее и наименьшее значение.

Если эти точки будут внутренними точками области D, то очевидно, в них будет максимум или минимум.

В этом случае интересующие нас точки находятся среди подозрительных точек на экстремум.

Однако наибольшее или наименьшее значение функция может принимать и на границе области D.

Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в области D, нужно найти все внутренние точки подозрительные на экстремум, вычислить значение функции в них, затем сравнить со значением функции в пограничных точках области, и наибольшее из всех найденных значений будет являться наибольшим в замкнутой области D.

Метод отыскания локального максимума или минимума рассматривался ранее в п. 1.2. и 1.3.

9. Остается рассмотреть метод отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на границе области.

10. В случае функции двух переменных область обычно оказывается ограниченной кривой или нескольких кривыми.

11. Вдоль такой кривой (или нескольких кривых) переменные и либо зависят одна от другой, либо обе зависят от одного параметра.

12. Таким образом, на границе функция оказывается зависящей от одной переменной.

13. Метод отыскания наибольшего значения функции одной переменной был рассмотрен ранее.

14. Пусть граница области D задана параметрическими уравнениями:

.

Тогда на этой кривой функция двух переменных будет представлять собой сложную функцию от параметра : . Для такой функции наибольшее и наименьшее значение определяется по методике определения наибольшего и наименьшего значения для функции одной переменной.

Это интересно:

Изучение проблемы развития памяти в психолого-педагогической литературе
Память на протяжении многих десятилетий привлекает внимание широкого круга исследователей теоретического и практического направлений. Изучение этого феномена одинаково важно для биологии, медицины, психологии, педагогики, философии. В наше время много внимания уделяется вопросам психологии. Как в о ...

Методика воспитания культуры поведения старшего дошкольного возраста
На основе полученных результатов, на формирующем этапе была систематизирована работа по развитию культуры поведения детей. Для реализации плана экспериментальной работы с детьми по формированию у них культуры поведения были использованы следующие методы: этические беседы; решение проблемных ситуаци ...

Описание программ эстетического воспитания в детском саду
Изучив педагогический опыт по эстетическому воспитанию дошкольников можно выделить несколько программ. Программа развития и воспитания детей в детском саду «Детство» В.И. Логиновой, Т.И. Бабаевой, Н.А. Ноткиной разработана коллективом преподавателей кафедры дошкольной педагогики РГПУ им. А.И.Герцен ...