Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D.

Пусть в этой области функция имеет конечные частные производные, кроме отдельных точек области.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса в этой области найдется точка, в которой функция примет наибольшее и наименьшее значение.

Если эти точки будут внутренними точками области D, то очевидно, в них будет максимум или минимум.

В этом случае интересующие нас точки находятся среди подозрительных точек на экстремум.

Однако наибольшее или наименьшее значение функция может принимать и на границе области D.

Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в области D, нужно найти все внутренние точки подозрительные на экстремум, вычислить значение функции в них, затем сравнить со значением функции в пограничных точках области, и наибольшее из всех найденных значений будет являться наибольшим в замкнутой области D.

Метод отыскания локального максимума или минимума рассматривался ранее в п. 1.2. и 1.3.

9. Остается рассмотреть метод отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на границе области.

10. В случае функции двух переменных область обычно оказывается ограниченной кривой или нескольких кривыми.

11. Вдоль такой кривой (или нескольких кривых) переменные и либо зависят одна от другой, либо обе зависят от одного параметра.

12. Таким образом, на границе функция оказывается зависящей от одной переменной.

13. Метод отыскания наибольшего значения функции одной переменной был рассмотрен ранее.

14. Пусть граница области D задана параметрическими уравнениями:

.

Тогда на этой кривой функция двух переменных будет представлять собой сложную функцию от параметра : . Для такой функции наибольшее и наименьшее значение определяется по методике определения наибольшего и наименьшего значения для функции одной переменной.

Это интересно:

Рекомендации по организации процесса формирования представлений старших дошкольников о здоровом образе жизни в трудовой деятельности
Оптимизировать процесс формирования представлений старших дошкольников о здоровом образе жизни в трудовой деятельности означает придать этому процессу наилучшие варианты. Процесс формирования представлений детей старшего дошкольного возраста о здоровом образе жизни в трудовой деятельности должен бы ...

Организационно-методический раздел курса "Социология" в ВУЗе
Изучение дисциплины "Социология" ставит своей целью: сформировать целостное представление об обществе, проблемах и закономерностях его функционирования и развития как социальной системы; сформировать у студентов глубокие знания теоретических основ и закономерностей функционирования социол ...

Эксперимент по выявлению эффективности интерактивного метода на уроке русского языка в 4 классе
Для обоснования и подтверждения теоретических положений, представленных в данной работе было организовано опытно-экспериментальное исследование, в ходе которого предполагалось доказать эффективность предлагаемого комплекса уроков русского языка с применением интерактивных методов обучения для 4 кла ...