Математический смысл действий сложения и вычитания

Сложение

Действие сложение и вычитание рассматривается с точки зрения различных теорий: количественной теории, аксиоматической теории и теории измерения величин.

По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отношение "непосредственно следовать за", и понятия "натуральное число" и "предшествующее число".

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу ⍺ прибавить 1, то получим число ⍺´, следующее за ⍺, т.е. ⍺+1=⍺´, и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу ⍺ натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2+3=5, то сумма 2+4 равна числу 6, которое непосредственно следует за числом 5. происходит так потому, что в сумме 2+4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. таким образом, сумму ⍺+b´ можно найти, если известна сумма ⍺+b. Эти факты и положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.

Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:

(∀ ⍺ ∈ N) ⍺+1=⍺´

(∀ ⍺, b ∈ N) ⍺+b´= (⍺+b) ´.

Число ⍺+b называется суммой чисел ⍺ и b, а сами числа ⍺ и b - слагаемыми.

Как известно, сумма любых двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел ⍺ и b сумма ⍺+b - единственна. другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна. особенностью определения является то, что заранее не известно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственна ли она?

С точки зрения количественной теории сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств.

Если A и B - конечные множества и A ∩ B = Ø, то m (A U B) = m (A) +m (B). Именно этот факт положен в основу определения суммы целых неотрицательных чисел, где m (A) - это численность множества A;

m (B) - это численность множества B.

Суммой целых неотрицательных чисел ⍺ и b называется целое неотрицательное число ⍺+b, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств A и B таких, что m (A) = ⍺, m (b) =b.

⍺+b = m (A U B), где ⍺= m (A); b = m (B); A ∩ B = Ø

Число ⍺ и b при этом называются слагаемыми.

Операция, с помощью которой по данным целым неотрицательным числам ⍺ и b находится целое неотрицательное число c, являющееся их суммой, называется сложением.

Коммутативный и ассоциативный законы сложения распространяются на любое конечное число слагаемых.

В начальном курсе математики сложение целых неотрицательных чисел вводится на конкретных примерах и задачах, решение которых связано с необходимостью объединять рассматриваемые множества и пересчитывать элементы в полученном объединении.

При непосредственном сравнении измерения величин можно установить равно они или нет. Если величины не равны, то можно указать, какая из них меньше, а какая больше. Для того чтобы получить более точный результат, необходимо величины измерить. Измерение различных величин, в техническом отношении, носит совершено различный характер. Для дли он один, для масс - он другой, для времени - третий и т.д. Однако в основе любого измерения лежит один и тот же принцип: измеряемый объект сравнивается с эталоном, т.е. с предметом или явлением, величина которого принята за единицу измерения. В результате сравнения получается число, характеризующее измеряемую величину.

Это интересно:

Электронное пособие по теме «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных»
По дисциплине математического анализа по теме «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значение функций двух переменных» было разработано электронное пособие. Оно содержит: 1. Фондовые лекции 14 и 36 шрифтов; 2. Углубленный материал по изучаемой теме; 3. Практические занятия; 4. Тес ...

Характеристика нарушения звукопроизношения при ФФНР
По данным исследований Р.М.Боскис, Р.Е.Левиной, Г.В.Чиркиной, Т.В.Тумановой состояние звукопроизношения этих детей характеризуется следующими особенностями: 1. Отсутствие в речи тех или иных звуков и замены звуков. Сложные по артикуляции звуки заменяются простыми по артикуляции, например: вместо [c ...

Методика преподавания слов категории состояния
В 7 классе учащиеся знакомятся с категорией состояния как частью речи. Семиклассники еще не изучали односоставных предложений, и поэтому на данном этапе обучения невозможно в полном объеме дать представление об этой группе слов и свойственных им синтаксических функциях (безличные предл.). На изучен ...