Математический смысл действий сложения и вычитания

Длина является величиной характеризующей пространственную протяженность объектов. Тем самым можно выяснить смысл арифметических операций над натуральными числами, рассматриваемые как меры длин отрезков.

Пусть отрезок z состоит из отрезков x и y, и пусть длины этих отрезков при выбранной единице e выражаются натуральными числами c, ⍺, b, т.е. c= m e (z), ⍺ = me (x), b= m e (y). Это означает, что отрезок x состоит из ⍺ отрезков, равных e; отрезок y состоит из b отрезков, равных e. Следовательно, весь отрезок z состоит из ⍺+b отрезков, равных e т.е. me (z) = c = ⍺+b = me (x) +me (y). Таким образом, можно дать определение суммы натуральных чисел:

Суммой натуральных чисел ⍺ и b называется натуральное число ⍺+b, являющееся мерой длины отрезка z, состоящего из отрезков x и y, мерами длин которых являются числа ⍺ и b:

⍺+b= me (z), где z= x+y; me (x) = ⍺; me (y) = b

Существование и единственность суммы натуральных чисел вытекают из существования и единственности меры длины отрезка при выбранной единицы измерения.

Рассмотрим основные законы, которым удовлетворяет операция сложения целых неотрицательных чисел:

(∀⍺,b ∈ Ne) (⍺+b= b+⍺) - коммутативный закон сложения.

(∀⍺,b, c ∈ Ne) ( (⍺+b) + c = ⍺+ (b+c)) - ассоциативный закон сложения.

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Вычитанием натуральных чисел ⍺ и b называется операция, удовлетворяющая условию: ⍺-b =с тогда и только тогда, когда b+с =⍺.

Число ⍺-b называется разностью чисел ⍺ и b, число ⍺ - уменьшаемым, а число b - вычитаемым.

В начальном обучении математике определение вычитания, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с появления действий над однозначными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычитание связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях.

С точки зрения количественной теории разностью множеств A и B называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.

Разностью множеств A и B обозначают A \ B. Тогда, по определению, имеем:

A\ B = {x | x ∈ A и x∉ B}.

В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств A \ B называют дополнением множества B до множества A, и обозначают символом B´A.

Пусть B⊂A. Дополнением множества B до множества A называется множество, содержащее все элементы множества A, которые не принадлежат множеству B. A \ B = B´A

Из определения следует, что B´A= {x | x ∈ A и x∉ B}.

Как уже было сказано, в случае, когда B⊂A,

Разностью целых неотрицательных чисел ⍺ и b называется целое неотрицательное число с, удовлетворяющее условию b+с =⍺.

Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности, можно доказать, что для любых множеств A, B и C справедливы следующие неравенства:

(A \ B) \ C = (A \C) \ B;

(A U B) \ C = (A \C) U (B \ C);

(A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C);

A \ (B U C) = (A \ B) ∩ (A \C);

5) A \ (B ∩ C) = (A \ B) U (A \C).

Используя определение разности целых неотрицательных чисел, можно дать теоретика - множественное обоснование правил, связывающих операции вычитания:

Правило вычитания числа из суммы:

а) (⍺+b) - с= (⍺-b) +b, если ⍺≥с

б) (⍺+b) - с= ⍺+ (b - с), если b≥с

Чтобы вычесть из суммы число, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Это интересно:

Способы и методы разрешения педагогических конфликтов
Способы разрешения конфликта, особенно если он не зашел далеко, известны и доступны каждому - это нежность, юмор и шутка. В более сложных ситуациях учителя прибегают к компромиссу, делая уступки, друг другу, или сами проводят анализ, стремясь разобраться в себе и своих поступках, и только в исключи ...

Развитие познавательной активности
Чтобы говорить о путях и условиях развития познавательной деятельности обучающихся, надо, прежде всего, определить, от чего зависит это развитие. Формирование познавательного интереса происходит в учебной деятельности, структуру которой составляют задачи, содержание, способы и мотивы. Другой путь ф ...

Основные задачи обучения детей основным движениям
В процессе общеразвивающих упражнений наряду с общими задачами физического воспитания решаются конкретные задачи, которые обусловлены особенностями возрастного развития и спецификой самих упражнений. Поэтому с детьми младшего дошкольного возраста необходимо: Воспитывать у детей интерес и желание за ...