Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Анализ влияния средств массовой информации на формирование личности младшего школьника
Средствами воспитания называются целесообразно организованные методические пути решения тех или иных воспитательных задач. Это могут и те предметы, которые используются в воспитательной работе с детьми (наглядные пособия, радио, телевидение), и виды деятельности, в которые вовлекаются учащиеся. Но ...

Роль высшего образования. Модели социального старта
Образование, и, прежде всего высшее, играет исключительно важную и всё возрастающую роль в современной жизни нашей цивилизации. Интеллектуальный потенциал нации, который в первую очередь создается системой образования, становится определяющим фактором прогрессивного развития стран и народов. Соврем ...

Приемы, способы и средства активизации мыслительной деятельности на учебных занятиях
В педагогическом процессе задача является одним из средств овладения системой научных знаний, формирования умений решать жизненные, производственные задачи. Решение каждой задачи, в особенности познавательной, требует от обучающихся не только актуализации, систематизации и воспроизведения ранее усв ...