Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Значение театрализованных игр во всестороннем развитии дошкольников
Одним из эффективных средств всестороннего развития и воспитания ребенка в младшем дошкольном возрасте является театрализованные игры, которые близки и понятны как детям, так и взрослым, прежде всего потому, что в основе его лежит игра. Игра - ведущий вид деятельности детей дошкольного возраста, а ...

Ключевые качества современного лидера
Самая большая проблема, с которой столкнулись исследователи, изучающие лидерство, — это выбор подходов и язык описания лидерского феномена. В своей жизни и в истории мы можем встретить лидеров, которые очень сильно отличаются друг от друга, но в то же время в них определённо есть общие черты. Но им ...

Общая характеристика средств обучения истории, их классификация
Под учебными комплексами обычно понимают учебно-методическую литературу, наглядные и иные средства обучения по каждому курсу истории. К ним относятся: учебные пособия (учебные пособия, хрестоматии, книги для чтения); методическая литература (методические пособия, книги, статьи, рекомендации, сборни ...