Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Методические средства, направленные на развитие логического мышления младших школьников при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания
В основу методики математического развития ребенка легло требование реализации моделирующей деятельности с математическими понятиями и отношениями. Главным принципом этого требования является преимущественное использование модельного подхода к обучению. Этот принцип позволяет осуществлять математич ...

Атомы. Простые и сложные вещества
Методика этих уроков изменилась потому, что заменен опыт, лежащий в основе объяснения. Поскольку оксид ртути исключен из числа школьных реактивов, то доказательство разложения молекул на атомы й образования новых молекул из получившихся атомов можно дать на опыте электролиза воды. Помогут уяснить с ...

Особенности экономических представлений детей 6-7 лет
В данном параграфе представлен анализ констатирующего этапа исследования. Изучение экономических представлений детей представлено следующими результатами. Только 33 % детей находятся на среднем уровне развития экономических представлений, 67 % детей имеют низкий уровень развития экономических предс ...