Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Методы устного изложения, наиболее часто используемые в обучении географии
Устное изложение учителя может быть либо приемом объяснительно иллюстративного метода, либо же используется в качестве приема в проблемном изложении учебного материала. Катехизическая беседа, как правило, служит приемом объяснительно – иллюстративного метода, а эвристическая относится к частично – ...

Модель адаптивного тестового контроля
Процедура тестирования предполагает анализ ответов на последовательность тестовых заданий определенной сложности. Проведем аналогию с поведением поискового алгоритма оптимизации для некоторой гипотетической функция Y, максимум которой необходимо найти. В задачах оценивания по тестированию — это мак ...

Нравственно-этическое воспитание: понятие, характеристика
В педагогической энциклопедии нравственное воспитание рассматривается как целенаправленное формирование морального сознания, развитие нравственных чувств и выработка навыков и привычек нравственного поведения. Из данного определения ясно, что нравственность как личностная характеристика представляе ...