Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Социологические исследования
В нашей стране получили широкое развитие социологические исследования. Пожалуй, нет такой отрасли общественной науки, которая бы не обращалась к данным таких исследований. Нет необходимости говорить о важности социологических исследований, отметим лишь то, что они позволяют получить, так сказать, « ...

Роль сюжетно-дидактических игр в формировании количественных представлений у детей дошкольного возраста
Счёт и измерение – действия взаимозависимые, они должны выполняться не приблизительно, а точно, правильно и в определённой последовательности. Поэтому в игре, где используются счёт или измерение, воспитатель должен брать на себя такую роль, которая позволила бы ему контролировать правильность выпол ...

Анализ учебно-методического комплекса В.В. Виноградовой по проблеме исследования
Программа по обучению грамоте (автор Журова Л.Е.) входит в учебно-методический комплект "Начальная школа ХХI века" (научный руководитель Виноградова Н.Ф.) и решает ряд основных задач: развитие фонематического и речевого слуха, обучение сознательному, правильному, плавному слоговому чтению ...