Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Определение уровня знаний детей о природе
Исследования проводились на базе муниципального бюджетного дошкольного образовательного учреждения детский сад №4 п. Вершино-Дарасунский Забайкальского края. Участие принимали 20 детей старшего дошкольного возраста. Исследование проводилось в несколько этапов. Первый этап - констатирующий: целью яв ...

Особенности формирования профессиональной компетентности в области рациональной организации учебной деятельности
Сегодня в педагогической науке наблюдается рефлексивный период развития, постепенно переходящий в активный созидательный процесс. Оживление педагогической мысли основано на принципиально новой ориентации: прекращение проектирования единообразного содержания личности и наделение ее уравнительными ха ...

Проблема развития познавательной активности в научно-педагогической литературе
Проблема развития познавательной активности школьников — одна из важнейших проблем современной педагогики. Она выступает как первостепенное условие формирования у учащихся потребности в знаниях, овладения умениями интеллектуальной деятельности, самостоятельности, обеспечения глубины и прочности зна ...