Логика и интуиция при изучении двойного интеграла в педагогическом вузе

В процессе обучения математике вопрос о взаимоотношении логики и интуиции встает особенно остро, когда приходится решать проблему уровня строгости преподавания того или иного ее раздела. Попробуем обсудить некоторые аспекты проблемы логической строгости в изложении математических курсов. Математика зарождается в определениях и развивается в теоремах. Поэтому рассмотрим вопрос о дидактически целесообразном соотношении логики и интуиции в выборе формулировок математических определений и доказательств теорем при изучении раздела математического анализа «Двойной интеграл» в педагогическом вузе.

Практика преподавания курса математики как в школе, так и в вузе показывает, что на окончательное формирование представления о некотором математическом понятии интуитивная деятельность учащихся оказывает не меньшее влияние, чем непосредственное изучение формального определения этого понятия.

Чтобы процесс формирования понятия шел у учащихся наиболее успешно, преподавателю необходимо выработать такое определение этого понятия, в котором дидактически целесообразно соотносились бы интуиция и логика. При этом по мере изучения предмета логическая строгость определений изучаемых понятий может усиливаться.

При изучении функций нескольких переменных в курсе математического анализа, их свойств, дифференцирования и интегрирования, используется метод аналогий с функцией одной переменной. В частности. Интеграл от функции двух переменных является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай плоской области. К моменту введения понятия двойного интеграла у студентов накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия – опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении, на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях. Перед формулировкой определения двойного интеграла рассматривается задача об объеме цилиндрического тела, вводятся понятия интегральной суммы, диаметра плоской области, делаются ссылки на аналогичные понятия для функции одной переменной, что значительно упрощает понимание вводимого определения.

Теперь обратимся к теоремам и их доказательствам. Теоремы составляют существо математической науки, а их доказательства образуют ее живую ткань. Теоремы, лишенные доказательства, безжизненны, мертвы. Поэтому изучать математику путем усвоения теорем без их доказательства бессмысленно. Понять структуру теоремы, метод ее доказательства и само доказательство помогает математическая логика. Доказательство теоремы, проведенное в полном соответствии с требованиями логики, и есть ее логически строгое доказательство.

Нестрогие доказательства должны возникать из строгих путем изъятия из них некоторых частей, которые при необходимости могут быть восстановлены самими учащимися или с помощью преподавателя. Например, не рассмотрены до конца все возможные случаи, при условии, что их рассмотрение происходит аналогично. Или дается лишь общая логическая схема доказательства без углубления в его детали. В самом крайнем случае может быть сообщена лишь общая идея доказательства, полная реализация которой потребует значительных усилий.

Изучение логически строгих математических доказательств составляет ту сторону математики, которая в большей степени развивает, нежели образовывает, воспитывает целеустремленность, волю, настойчивость, развивает культуру и мышление. Кроме того, строгие логические доказательства помогают глубже раскрыть смысл вводимых понятий, овладеть ими и правильно применять на практике, помогают установить логическую структуру всего математического курса и связи между отдельными его частями, что существенно облегчает его запоминание и усвоение по сравнению с лишенным внутренней логики рецептурным методом изложения. Логические доказательства помогают полнее овладеть математическими методами, выработать необходимые для их использования навыки, лучше осознать границы применимости этих методов.

Это интересно:

Научные концепции обучения с применением мультимедиа в образовании
Современный период развития цивилизованного общества характеризуется процессом информатизации. Это глобальный социальный процесс, при котором сбор, накопление, обработка, хранение, передача и использование информации осуществляется на основе современных средств коммуникации. Внедрение средств совре ...

Методика проведения упражнений по гимнастике в детском саду
Цель: определить развитие физического качества - быстроты Место проведения: спортивная площадка (ровная прямая беговая дорожка длиной не менее 40 м.). Оборудование: секундомер. Исходное положение: высокий старт. В начале дорожки обозначают стартовую черту, а через 30 м - финишную. За линией финиша ...

Формы организации детей при ознакомлении их с природой
Формами организации деятельности детей при ознакомлении их с природой являются занятия, экскурсии, прогулки, работа в уголке природы, работа на земельном участке. Занятия. Это основная форма организации детей в ознакомлении их с природой. Проводятся они в определенные часы по заранее разработанному ...