Достаточное условие экстремума функции двух переменных

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Это интересно:

Общие положения деятельности министерства образования и науки Челябинской области
Министерство является органом исполнительной власти Челябинской области, осуществляющим государственную политику в сфере образования, науки, научной, научно-технической деятельности, а также молодежной политики. В своей деятельности руководствуется Конституцией РФ, федеральными конституционными зак ...

Структура и содержание утренней гимнастики
Любое физкультурное мероприятие, в том числе и утренняя гимнастика, начинается с разминки и заканчивается восстановительными упражнениями. Поскольку утренняя гимнастика не продолжительна (5 – 12 минут) и физические нагрузки в ней не велики, это требование соблюдается как общий принцип. В дневных гр ...

Реализация эффективных приемов обучения грамматике на среднем этапе
Любой навык формируется упражнениями. Типы грамматических упражнений определяются целевой установкой. Продуктивные упражнения тренируют определенные действия по выбору модели предложения или по его структурированию в связи с замыслом отправителя речи. Рецептивные упражнения направлены на узнавание ...