Достаточное условие экстремума функции двух переменных

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Это интересно:

Сущность и виды эксперимента
Эксперимент – это метод сбора фактов в контролируемых и управляемых условиях, обеспечивающих активное проявление изучаемого явления. По форме проведения выделяются естественный и лабораторный эксперимент. Естественный эксперимент предложен Лазурским в 1910г. Он проводится в условиях привычной для и ...

Сорбонна - самый старый и знаменитый университет Франции
История Сорбонны начинается с 1215 года, когда церковные коллежи, находившиеся на левом берегу Сены недалеко от Собора Парижской Богоматери, были объединены под общим названием Парижского университета. Примерно 40 лет спустя по инициативе духовника короля Людовика IX Робера де Сорбона при университ ...

Обучение иностранному языку в школе
Обучение - процесс передачи и усвоения знаний, умений, навыков деятельности, основное средство подготовки человека к жизни и труду. В процессе обучения реализуются цели образования и воспитания. Главный путь получения образования — обучение в учебных заведениях различного типа, однако обучение осущ ...