Достаточное условие экстремума функции двух переменных

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Это интересно:

Воспитание в обеспеченных семьях
Говорить о специфике воспитания в обеспеченных семьях довольно сложно, так как эта тема практически не освещена в литературе, к тому же доля таких семей в современной России очень не значительна. В такой семье имеются средства для организации эффективного воспитания: комфортная среда для ребенка, в ...

Тренировка мышц глотки и мягкого неба
1. Позевывать с открытым и закрытым ртом. Позевывать с широким открыванием рта, шумным втягиванием воздуха. 2. Произвольно покашливать. Хорошо откашляться с широко открытым ртом, с силой сжимая кулаки. Покашливать с высунутым языком. 3. Имитировать полоскание горла с запрокинутой головой. Полоскать ...

Основа бизнес – плана
Финансово – экономическая деятельность образовательного учреждения (ОУ) должна планироваться в соответствии с потребностями рынка. Для этого важно составить бизнес - план, который позволит: определить конкретные направления предпринимательской деятельности; оценить конкурентоспособность товаров, ко ...