Достаточное условие экстремума функции двух переменных

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Это интересно:

Результаты контрольно-педагогических испытаний школьников первого класса
В исследованиях принимали участие 29 первоклассников из экспериментальной группы (14 мальчиков и 15 девочек) и 36 - из контрольной (17 мальчиков и 19 девочек). Экспериментальная группа делилась на три подгруппы с учетом физического развития. В первую подгруппу (уровень "ниже среднего") во ...

Обучение иностранному языку в школе
Обучение - процесс передачи и усвоения знаний, умений, навыков деятельности, основное средство подготовки человека к жизни и труду. В процессе обучения реализуются цели образования и воспитания. Главный путь получения образования — обучение в учебных заведениях различного типа, однако обучение осущ ...

Требования к педагогу компьютерного класса
В современном образовании нет более трудной профессии, чем учитель информатики. Необходимость каждые два года начинать все «с нуля» незнакома преподавателям других дисциплин. В этой ситуации педагог вынужден напряженно следить за развитием средств вычислительной техники, за появлением программ, за ...