Достаточное условие экстремума функции двух переменных

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Это интересно:

Получение полимеров
В настоящее время наряду с природными материалами все большее значение приобретают синтетические полимеры. Выбор соответствующих исходных продуктов и условий процесса позволяет проводить направленный синтез высокомолекулярных соединений и получать их с заранее заданной структурой и необходимым комп ...

Значение дидактического наследия Сухомлинского для современной теории и практики обучения
Отличительной особенностью педагогической системы В. А. Сухомлинского явилось создание самоуправляемых воспитательных коллективов, жизнь которых открывала широкие возможности для самореализации и саморазвития личности, проявления ее способностей и дарований. Его воспитательная система строилась на ...

Особенности средств массовой информации в воспитательном процессе начальной школы
Все более широкое использование средств массовой информации в воспитательном процессе ставит немало сложных проблем, как перед педагогами, так и перед школьниками. Телевидение превратило зрителя в соучастника живого действия и уподобило общение с экрана общению с людьми. Выполняя самые многообразны ...