Позиционные и непозиционные системы счисления. Перевод из чужой системы счисления в свою

Цель: повторить материал 9-го класса по системам счисления, а также рассмотреть материал с другой точки зрения, нежели с точки зрения базового курса информатики.

Задачи:

– повторить и изучить материал по системам счисления 9-го класса на более высоком уровне.

– продолжить развитие у детей логического мышления.

– формирование у детей научного мировоззрения.

План урока:

1. Орг. часть.

2. Сообщение нового материала.

3. Закрепление нового материала.

4. Задание на дом.

5. Итоги урока.

Ход урока:

1. Проверка отсутствующих в классе.

2. Теперь приступим к запланированной на сегодня работе. Сегодня мы изучим две небольшие темы: «Позиционные и непозиционные системы счисления» и «Перевод из чужой системы счисления в свою».

Как вы уже знаете, исторически сложились два класса систем счисления: позиционная и непозиционная.

В непозиционных системах значение символа в записи числа не зависит от его положения в записи и всегда означает одно и то же количество. Самая известная непозиционная система счисления – римская.

Выполнение вычислений и арифметических операций в непозиционных системах счисления довольно сложны.

В позиционных же системах счисления значение цифры зависит от её положения в записи числа, т.е. одна и та же цифра может означать разное количество в зависимости от места, которое она занимает в числе.

Среди позиционных систем счисления наиболее распространена десятичная система счисления, основанием которой является число 10, т.е. имеется десять различных знаков (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), комбинируя которые можно записать любое число.

А теперь рассмотрим общий случай.

Пусть имеется позиционная система счисления с основанием p. Тогда, если число x в этой системе счисления имеет вид

где

то эта запись изображает число

Если число x является целым, т.е. то запись

можно рассматривать как многочлен от p степени r с коэффициентами . Если же число x является правильной дробью, т.е.

И в этом случае последнюю запись можно рассматривать как многочлен от p-1.

Рассмотрим задачу перевода числа из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q. При таком переводе удобно использовать понятия «своя» и «чужая» системы счисления.

Систему счисления, в которой мы умеем выполнять арифметические операции, назовём «своей», а другую систему счисления назовём «чужой».

При переводе числа возникает два типа задач:

перевод числа из чужой системы счисления в свою;

перевод из своей системы счисления в чужую.

Рассмотрим поочерёдно обе эти задачи.

Начнём с перевода числа из чужой системы счисления в свою. Можно отдельно перевести целую и дробную части, а затем сложить результаты. Так мы делали в 9-м классе. Но существует и другой способ. Если задано число в системе счисления с основанием p и его нужно перевести в свою десятичную систему счисления, то поступим так: рассматривая x как целое, переводим его в десятичную систему счисления, а затем полученный результат разделим на ps, где ps представлено десятичным числом. Как мы уже говорили, число в системе с основанием p можно рассматривать как многочлен некоторой степени от p. Для удобства и единообразия вычислений значения многочлена часто пользуются схемой Горнера.

Так, если x = 1324p, то

x = 1*p3 + 3*p2 + 2*p1 + 4*p0 = ((1*p + 3)p +2) + 4 или x0 = 1;

x1 = x0*p + 3; x2 = x1*p + 2; x3 = x2*p + 4;

x3 и есть искомое число x.

Пример:

Переведём число 5348 в десятичную систему счисления.

5348 = 5*82 +3*81 + 4;

Используем схему Горнера:

x0 = 5;

x1 = x0*8 + 3 = 43;

x2 = 43*8 + 4 = 348;

Пример: Переведём число 1001,10012 в десятичную систему счисления.

,

10011001 = 1*27 + 0*26 + 0*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 15310.

3. Теперь решим несколько несложных примеров на закрепление.

Перевести по схеме Горнера в десятичную систему счисления:

3324 ( 3*4 + 3 = 15, 15*4 + 2 = 62Ответ:62.)

18769 (1*9 + 8 = 17, 17*9 + 7= 160, 160*9 + 6 =1446Ответ:1446.)

125237 (1*7 + 2 =9, 9*7 + 5 = 69, 69*7 + 2 = 485,

485*7 + 3 = 3398Ответ:3398.)

77768 (7*8 + 7 = 63, 63*8 + 7 = 511, 511*8 + 6 = 4094Ответ:4094.)

Это интересно:

Проговаривание как прием формирования орфографической зоркости
Орфографическое проговаривание это произнесение слова так, как будто все фонемы в нем представлены своими сильными позициями. А так как буквы - это значки фонем, прочитать слово побуквенно означает представить букву как знак сильной позиции фонемы (звука). Проворить слово орфографически, побуквенно ...

Наречие и слова категории состояния как части речи
Наречие – старое слово. Оно уже было в древнерусском языке и нашло отражение в словаре И. И. Срезневского, где отмечено его значение как части речи. Если попытаться определить этимологию этого слова, то придется выделить корень реч-. Слово же речь в древнерусском имело различные значения, одним из ...

Освещение темы педагогом на уроках истории и во внеурочной форме
Тема дипломной работы может быть использована как на уроках истории, так и на внеклассных занятиях. Она связана с историко-культурным материалом. Известно, что построение уроков по истории культуры значительно сложнее, изложение этого материала в учебнике часто не может удовлетворить учителя ни в о ...