Позиционные и непозиционные системы счисления. Перевод из чужой системы счисления в свою

Цель: повторить материал 9-го класса по системам счисления, а также рассмотреть материал с другой точки зрения, нежели с точки зрения базового курса информатики.

Задачи:

– повторить и изучить материал по системам счисления 9-го класса на более высоком уровне.

– продолжить развитие у детей логического мышления.

– формирование у детей научного мировоззрения.

План урока:

1. Орг. часть.

2. Сообщение нового материала.

3. Закрепление нового материала.

4. Задание на дом.

5. Итоги урока.

Ход урока:

1. Проверка отсутствующих в классе.

2. Теперь приступим к запланированной на сегодня работе. Сегодня мы изучим две небольшие темы: «Позиционные и непозиционные системы счисления» и «Перевод из чужой системы счисления в свою».

Как вы уже знаете, исторически сложились два класса систем счисления: позиционная и непозиционная.

В непозиционных системах значение символа в записи числа не зависит от его положения в записи и всегда означает одно и то же количество. Самая известная непозиционная система счисления – римская.

Выполнение вычислений и арифметических операций в непозиционных системах счисления довольно сложны.

В позиционных же системах счисления значение цифры зависит от её положения в записи числа, т.е. одна и та же цифра может означать разное количество в зависимости от места, которое она занимает в числе.

Среди позиционных систем счисления наиболее распространена десятичная система счисления, основанием которой является число 10, т.е. имеется десять различных знаков (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), комбинируя которые можно записать любое число.

А теперь рассмотрим общий случай.

Пусть имеется позиционная система счисления с основанием p. Тогда, если число x в этой системе счисления имеет вид

где

то эта запись изображает число

Если число x является целым, т.е. то запись

можно рассматривать как многочлен от p степени r с коэффициентами . Если же число x является правильной дробью, т.е.

И в этом случае последнюю запись можно рассматривать как многочлен от p-1.

Рассмотрим задачу перевода числа из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q. При таком переводе удобно использовать понятия «своя» и «чужая» системы счисления.

Систему счисления, в которой мы умеем выполнять арифметические операции, назовём «своей», а другую систему счисления назовём «чужой».

При переводе числа возникает два типа задач:

перевод числа из чужой системы счисления в свою;

перевод из своей системы счисления в чужую.

Рассмотрим поочерёдно обе эти задачи.

Начнём с перевода числа из чужой системы счисления в свою. Можно отдельно перевести целую и дробную части, а затем сложить результаты. Так мы делали в 9-м классе. Но существует и другой способ. Если задано число в системе счисления с основанием p и его нужно перевести в свою десятичную систему счисления, то поступим так: рассматривая x как целое, переводим его в десятичную систему счисления, а затем полученный результат разделим на ps, где ps представлено десятичным числом. Как мы уже говорили, число в системе с основанием p можно рассматривать как многочлен некоторой степени от p. Для удобства и единообразия вычислений значения многочлена часто пользуются схемой Горнера.

Так, если x = 1324p, то

x = 1*p3 + 3*p2 + 2*p1 + 4*p0 = ((1*p + 3)p +2) + 4 или x0 = 1;

x1 = x0*p + 3; x2 = x1*p + 2; x3 = x2*p + 4;

x3 и есть искомое число x.

Пример:

Переведём число 5348 в десятичную систему счисления.

5348 = 5*82 +3*81 + 4;

Используем схему Горнера:

x0 = 5;

x1 = x0*8 + 3 = 43;

x2 = 43*8 + 4 = 348;

Пример: Переведём число 1001,10012 в десятичную систему счисления.

,

10011001 = 1*27 + 0*26 + 0*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 15310.

3. Теперь решим несколько несложных примеров на закрепление.

Перевести по схеме Горнера в десятичную систему счисления:

3324 ( 3*4 + 3 = 15, 15*4 + 2 = 62Ответ:62.)

18769 (1*9 + 8 = 17, 17*9 + 7= 160, 160*9 + 6 =1446Ответ:1446.)

125237 (1*7 + 2 =9, 9*7 + 5 = 69, 69*7 + 2 = 485,

485*7 + 3 = 3398Ответ:3398.)

77768 (7*8 + 7 = 63, 63*8 + 7 = 511, 511*8 + 6 = 4094Ответ:4094.)

Это интересно:

Развитие проблемы профессионального самосознания в отечественной и зарубежной теории
Современное общество, в силу исторических закономерностей, вступило на путь переосмысления целей, ценностей и приоритетов образования. Сейчас для человека важно не только знать (большая часть знаний все равно забудется), а понимать, анализировать знания, видеть их практическую пользу, и уметь заним ...

Жизнь студентов
Среди студентов встречались самые разные люди. Различными были и отношение к учебе, и социальный статус. Не стоит забывать, что четко установленных временных сроков обучения не существовало. Поэтому одни могли учиться десятилетиями, а другие стремились скорее закончить «мучения». Поскольку в различ ...

Общение со взрослым, как фактор развития познавательной активности детей старшего дошкольного возраста
Со временем внимание дошкольников все более привлекают события, происходящие среди окружающих людей. Человеческие отношения, нормы поведения, качества отдельных людей начинают интересовать ребенка даже больше, чем жизнь животных или явления природы. Что можно, а что нельзя, кто добрый, а кто жадный ...